Theorem co02 2663

Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63.

Assertion

Ref	Expression
co02	|- (A o. (/)) = (/)

Proof of Theorem co02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 2658	. 2 |- Rel (A o. (/))
2		rel0 2499	. 2 |- Rel (/)
3		noel 1711	. . . . . . 7 |- -. <.x, z>. e. (/)
4		df-br 2063	. . . . . . 7 |- (x(/)z <-> <.x, z>. e. (/))
5	3, 4	mtbir 167	. . . . . 6 |- -. x(/)z
6	5	intnanr 517	. . . . 5 |- -. (x(/)z /\ zAy)
7	6	nex 779	. . . 4 |- -. E.z(x(/)z /\ zAy)
8		visset 1350	. . . . 5 |- x e. V
9		visset 1350	. . . . 5 |- y e. V
10	8, 9	opelco 2509	. . . 4 |- (<.x, y>. e. (A o. (/)) <-> E.z(x(/)z /\ zAy))
11	7, 10	mtbir 167	. . 3 |- -. <.x, y>. e. (A o. (/))
12		noel 1711	. . 3 |- -. <.x, y>. e. (/)
13		pm5.21 502	. . 3 |- ((-. <.x, y>. e. (A o. (/)) /\ -. <.x, y>. e. (/)) -> (<.x, y>. e. (A o. (/)) <-> <.x, y>. e. (/)))
14	11, 12, 13	mp2an 520	. 2 |- (<.x, y>. e. (A o. (/)) <-> <.x, y>. e. (/))
15	1, 2, 14	cleqreli 2484	1 |- (A o. (/)) = (/)

Syntax hints:  -. wn 1   <-> wb 127   /\ wa 196  E.wex 678   = wceq 1091   e. wcel 1092  (/)c0 1707  <.cop 1810   class class class wbr 2054   o. ccom 2414

This theorem is referenced by:  co01 2664

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425  df-co 2427

metamath.org