Theorem cplem1 3545

Description: Lemma for the Collection Principle cp 3547.

Hypotheses

Ref	Expression
cplem1.1	|- C = {y e. B | A.z e. B (rank` y) (_ (rank` z)}
cplem1.2	|- D = U.x e. A C

Assertion

Ref	Expression
cplem1	|- A.x e. A (-. B = (/) -> -. (B i^i D) = (/))

Distinct variable group(s):   x,y,z,A   y,B,z

Proof of Theorem cplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cplem1.1	. . . . . . . . 9 |- C = {y e. B | A.z e. B (rank` y) (_ (rank` z)}
2		ssrab 1556	. . . . . . . . 9 |- {y e. B | A.z e. B (rank` y) (_ (rank` z)} (_ B
3	1, 2	eqsstr 1530	. . . . . . . 8 |- C (_ B
4	3	sseli 1504	. . . . . . 7 |- (w e. C -> w e. B)
5	4	a1i 7	. . . . . 6 |- (x e. A -> (w e. C -> w e. B))
6		ssiun2 2019	. . . . . . . 8 |- (x e. A -> C (_ U.x e. A C)
7		cplem1.2	. . . . . . . 8 |- D = U.x e. A C
8	6, 7	syl6ssr 1547	. . . . . . 7 |- (x e. A -> C (_ D)
9	8	sseld 1506	. . . . . 6 |- (x e. A -> (w e. C -> w e. D))
10	5, 9	jcad 455	. . . . 5 |- (x e. A -> (w e. C -> (w e. B /\ w e. D)))
11		inelcm 1742	. . . . 5 |- ((w e. B /\ w e. D) -> -. (B i^i D) = (/))
12	10, 11	syl6 23	. . . 4 |- (x e. A -> (w e. C -> -. (B i^i D) = (/)))
13	12	19.23adv 954	. . 3 |- (x e. A -> (E.w w e. C -> -. (B i^i D) = (/)))
14		scott0 3542	. . . . . 6 |- (B = (/) <-> {y e. B | A.z e. B (rank` y) (_ (rank` z)} = (/))
15	1	cleq1i 1108	. . . . . 6 |- (C = (/) <-> {y e. B | A.z e. B (rank` y) (_ (rank` z)} = (/))
16	14, 15	bitr4 154	. . . . 5 |- (B = (/) <-> C = (/))
17	16	negbii 162	. . . 4 |- (-. B = (/) <-> -. C = (/))
18		n0 1714	. . . 4 |- (-. C = (/) <-> E.w w e. C)
19	17, 18	bitr 151	. . 3 |- (-. B = (/) <-> E.w w e. C)
20	13, 19	syl5ib 181	. 2 |- (x e. A -> (-. B = (/) -> -. (B i^i D) = (/)))
21	20	rgen 1247	1 |- A.x e. A (-. B = (/) -> -. (B i^i D) = (/))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196  E.wex 678   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  {crab 1204   i^i cin 1486   (_ wss 1487  (/)c0 1707  U.ciun 1994  ` cfv 2422  rankcrnk 3486

This theorem is referenced by:  cplem2 3546

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-iin 1997  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-r1 3487  df-rank 3488

metamath.org