Definition df-enq 3831

Description: Define equivalence relation for positive fractions. This is a "temporary" set used in the construction of complex numbers df-c 4034, and is intended to be used only by the construction. From Proposition 9-2.1 of [Gleason] p. 117.

Assertion

Ref	Expression
df-enq	|- ~Q = {<.x, y>. | ((x e. (N. X. N.) /\ y e. (N. X. N.)) /\ E.zE.wE.vE.u((x = <.z, w>. /\ y = <.v, u>.) /\ (z .N u) = (w .N v)))}

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,v,u

Detailed syntax breakdown of Definition df-enq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ceq 3772	. 2 class ~Q
2		vx	. . . . . . 7 set x
3	2	cv 1089	. . . . . 6 class x
4		cnpi 3766	. . . . . . 7 class N.
5	4, 4	cxp 2408	. . . . . 6 class (N. X. N.)
6	3, 5	wcel 1092	. . . . 5 wff x e. (N. X. N.)
7		vy	. . . . . . 7 set y
8	7	cv 1089	. . . . . 6 class y
9	8, 5	wcel 1092	. . . . 5 wff y e. (N. X. N.)
10	6, 9	wa 196	. . . 4 wff (x e. (N. X. N.) /\ y e. (N. X. N.))
11		vz	. . . . . . . . . . . . 13 set z
12	11	cv 1089	. . . . . . . . . . . 12 class z
13		vw	. . . . . . . . . . . . 13 set w
14	13	cv 1089	. . . . . . . . . . . 12 class w
15	12, 14	cop 1810	. . . . . . . . . . 11 class <.z, w>.
16	3, 15	wceq 1091	. . . . . . . . . 10 wff x = <.z, w>.
17		vv	. . . . . . . . . . . . 13 set v
18	17	cv 1089	. . . . . . . . . . . 12 class v
19		vu	. . . . . . . . . . . . 13 set u
20	19	cv 1089	. . . . . . . . . . . 12 class u
21	18, 20	cop 1810	. . . . . . . . . . 11 class <.v, u>.
22	8, 21	wceq 1091	. . . . . . . . . 10 wff y = <.v, u>.
23	16, 22	wa 196	. . . . . . . . 9 wff (x = <.z, w>. /\ y = <.v, u>.)
24		cmi 3768	. . . . . . . . . . 11 class .N
25	12, 20, 24	co 3001	. . . . . . . . . 10 class (z .N u)
26	14, 18, 24	co 3001	. . . . . . . . . 10 class (w .N v)
27	25, 26	wceq 1091	. . . . . . . . 9 wff (z .N u) = (w .N v)
28	23, 27	wa 196	. . . . . . . 8 wff ((x = <.z, w>. /\ y = <.v, u>.) /\ (z .N u) = (w .N v))
29	28, 19	wex 678	. . . . . . 7 wff E.u((x = <.z, w>. /\ y = <.v, u>.) /\ (z .N u) = (w .N v))
30	29, 17	wex 678	. . . . . 6 wff E.vE.u((x = <.z, w>. /\ y = <.v, u>.) /\ (z .N u) = (w .N v))
31	30, 13	wex 678	. . . . 5 wff E.wE.vE.u((x = <.z, w>. /\ y = <.v, u>.) /\ (z .N u) = (w .N v))
32	31, 11	wex 678	. . . 4 wff E.zE.wE.vE.u((x = <.z, w>. /\ y = <.v, u>.) /\ (z .N u) = (w .N v))
33	10, 32	wa 196	. . 3 wff ((x e. (N. X. N.) /\ y e. (N. X. N.)) /\ E.zE.wE.vE.u((x = <.z, w>. /\ y = <.v, u>.) /\ (z .N u) = (w .N v)))
34	33, 2, 7	copab 2055	. 2 class {<.x, y>. | ((x e. (N. X. N.) /\ y e. (N. X. N.)) /\ E.zE.wE.vE.u((x = <.z, w>. /\ y = <.v, u>.) /\ (z .N u) = (w .N v)))}
35	1, 34	wceq 1091	1 wff ~Q = {<.x, y>. | ((x e. (N. X. N.) /\ y e. (N. X. N.)) /\ E.zE.wE.vE.u((x = <.z, w>. /\ y = <.v, u>.) /\ (z .N u) = (w .N v)))}

This definition is referenced by:  enqbreq 3838  dmenq 3839  enqer 3840  enqex 3842  addpipq 3848  mulpipq 3849

metamath.org