Theorem dffun2 2674

Description: Alternate definition of a function.

Assertion

Ref	Expression
dffun2	|- (Fun A <-> (Rel A /\ A.xA.yA.z((xAy /\ xAz) -> y = z)))

Distinct variable group(s):   x,y,z,A

Proof of Theorem dffun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fun 2432	. 2 |- (Fun A <-> (Rel A /\ (A o. `'A) (_ I))
2		df-id 2125	. . . . . 6 |- I = {<.y, z>. | y = z}
3	2	sseq2i 1525	. . . . 5 |- ((A o. `'A) (_ I <-> (A o. `'A) (_ {<.y, z>. | y = z})
4		df-co 2427	. . . . . 6 |- (A o. `'A) = {<.y, z>. | E.x(y`'Ax /\ xAz)}
5	4	sseq1i 1524	. . . . 5 |- ((A o. `'A) (_ {<.y, z>. | y = z} <-> {<.y, z>. | E.x(y`'Ax /\ xAz)} (_ {<.y, z>. | y = z})
6		ssopab2 2119	. . . . 5 |- ({<.y, z>. | E.x(y`'Ax /\ xAz)} (_ {<.y, z>. | y = z} <-> A.yA.z(E.x(y`'Ax /\ xAz) -> y = z))
7	3, 5, 6	3bitr 155	. . . 4 |- ((A o. `'A) (_ I <-> A.yA.z(E.x(y`'Ax /\ xAz) -> y = z))
8		visset 1350	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. V
9		visset 1350	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. V
10	8, 9	brcnv 2519	. . . . . . . . . . 11 |- (y`'Ax <-> xAy)
11	10	anbi1i 368	. . . . . . . . . 10 |- ((y`'Ax /\ xAz) <-> (xAy /\ xAz))
12	11	biex 733	. . . . . . . . 9 |- (E.x(y`'Ax /\ xAz) <-> E.x(xAy /\ xAz))
13	12	imbi1i 161	. . . . . . . 8 |- ((E.x(y`'Ax /\ xAz) -> y = z) <-> (E.x(xAy /\ xAz) -> y = z))
14		19.23v 950	. . . . . . . 8 |- (A.x((xAy /\ xAz) -> y = z) <-> (E.x(xAy /\ xAz) -> y = z))
15	13, 14	bitr4 154	. . . . . . 7 |- ((E.x(y`'Ax /\ xAz) -> y = z) <-> A.x((xAy /\ xAz) -> y = z))
16	15	bial 695	. . . . . 6 |- (A.z(E.x(y`'Ax /\ xAz) -> y = z) <-> A.zA.x((xAy /\ xAz) -> y = z))
17		alcom 715	. . . . . 6 |- (A.zA.x((xAy /\ xAz) -> y = z) <-> A.xA.z((xAy /\ xAz) -> y = z))
18	16, 17	bitr 151	. . . . 5 |- (A.z(E.x(y`'Ax /\ xAz) -> y = z) <-> A.xA.z((xAy /\ xAz) -> y = z))
19	18	bial 695	. . . 4 |- (A.yA.z(E.x(y`'Ax /\ xAz) -> y = z) <-> A.yA.xA.z((xAy /\ xAz) -> y = z))
20		alcom 715	. . . 4 |- (A.yA.xA.z((xAy /\ xAz) -> y = z) <-> A.xA.yA.z((xAy /\ xAz) -> y = z))
21	7, 19, 20	3bitr 155	. . 3 |- ((A o. `'A) (_ I <-> A.xA.yA.z((xAy /\ xAz) -> y = z))
22	21	anbi2i 367	. 2 |- ((Rel A /\ (A o. `'A) (_ I) <-> (Rel A /\ A.xA.yA.z((xAy /\ xAz) -> y = z)))
23	1, 22	bitr 151	1 |- (Fun A <-> (Rel A /\ A.xA.yA.z((xAy /\ xAz) -> y = z)))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   = weq 797   (_ wss 1487   class class class wbr 2054  {copab 2055  Icid 2057  `'ccnv 2409   o. ccom 2414  Rel wrel 2415  Fun wfun 2416

This theorem is referenced by:  dffun3 2675  dffun4 2676

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-cnv 2426  df-co 2427  df-fun 2432

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