Theorem dffun4 2676

Description: Alternate definition of a function. Definition 6.4(4) of [TakeutiZaring] p. 24.

Assertion

Ref	Expression
dffun4	|- (Fun A <-> (Rel A /\ A.xA.yA.z((<.x, y>. e. A /\ <.x, z>. e. A) -> y = z)))

Distinct variable group(s):   x,y,z,A

Proof of Theorem dffun4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun2 2674	. 2 |- (Fun A <-> (Rel A /\ A.xA.yA.z((xAy /\ xAz) -> y = z)))
2		df-br 2063	. . . . . . 7 |- (xAy <-> <.x, y>. e. A)
3		df-br 2063	. . . . . . 7 |- (xAz <-> <.x, z>. e. A)
4	2, 3	anbi12i 369	. . . . . 6 |- ((xAy /\ xAz) <-> (<.x, y>. e. A /\ <.x, z>. e. A))
5	4	imbi1i 161	. . . . 5 |- (((xAy /\ xAz) -> y = z) <-> ((<.x, y>. e. A /\ <.x, z>. e. A) -> y = z))
6	5	bial 695	. . . 4 |- (A.z((xAy /\ xAz) -> y = z) <-> A.z((<.x, y>. e. A /\ <.x, z>. e. A) -> y = z))
7	6	bi2al 696	. . 3 |- (A.xA.yA.z((xAy /\ xAz) -> y = z) <-> A.xA.yA.z((<.x, y>. e. A /\ <.x, z>. e. A) -> y = z))
8	7	anbi2i 367	. 2 |- ((Rel A /\ A.xA.yA.z((xAy /\ xAz) -> y = z)) <-> (Rel A /\ A.xA.yA.z((<.x, y>. e. A /\ <.x, z>. e. A) -> y = z)))
9	1, 8	bitr 151	1 |- (Fun A <-> (Rel A /\ A.xA.yA.z((<.x, y>. e. A /\ <.x, z>. e. A) -> y = z)))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672   = weq 797   e. wcel 1092  <.cop 1810   class class class wbr 2054  Rel wrel 2415  Fun wfun 2416

This theorem is referenced by:  funsn 2690  funun 2700  fununi 2705  tfrlem7 2955

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-cnv 2426  df-co 2427  df-fun 2432

metamath.org