Theorem dffun7 2688

Description: Alternate definition of a function. One possibility for the definition of a function in [Enderton] p. 42. Compare dffun6 2687.

Assertion

Ref	Expression
dffun7	|- (Fun A <-> (Rel A /\ A.x e. dom AE!y xAy))

Distinct variable group(s):   x,y,A

Proof of Theorem dffun7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funrel 2681	. . 3 |- (Fun A -> Rel A)
2		ax-17 925	. . . . . 6 |- (Fun A -> A.yFun A)
3		hbeu1 1015	. . . . . 6 |- (E!y<.x, y>. e. A -> A.yE!y<.x, y>. e. A)
4		funeu2 2686	. . . . . . 7 |- ((Fun A /\ <.x, y>. e. A) -> E!y<.x, y>. e. A)
5	4	exp 291	. . . . . 6 |- (Fun A -> (<.x, y>. e. A -> E!y<.x, y>. e. A))
6	2, 3, 5	19.23ad 748	. . . . 5 |- (Fun A -> (E.y<.x, y>. e. A -> E!y<.x, y>. e. A))
7		visset 1350	. . . . . 6 |- x e. V
8	7	eldm2 2528	. . . . 5 |- (x e. dom A <-> E.y<.x, y>. e. A)
9		df-br 2063	. . . . . 6 |- (xAy <-> <.x, y>. e. A)
10	9	bieu 1014	. . . . 5 |- (E!y xAy <-> E!y<.x, y>. e. A)
11	6, 8, 10	3imtr4g 426	. . . 4 |- (Fun A -> (x e. dom A -> E!y xAy))
12	11	r19.21aiv 1259	. . 3 |- (Fun A -> A.x e. dom AE!y xAy)
13	1, 12	jca 236	. 2 |- (Fun A -> (Rel A /\ A.x e. dom AE!y xAy))
14		eumo 1037	. . . . 5 |- (E!y xAy -> E*y xAy)
15	14	r19.20si 1254	. . . 4 |- (A.x e. dom AE!y xAy -> A.x e. dom AE*y xAy)
16	15	anim2i 270	. . 3 |- ((Rel A /\ A.x e. dom AE!y xAy) -> (Rel A /\ A.x e. dom AE*y xAy))
17		dffun6 2687	. . 3 |- (Fun A <-> (Rel A /\ A.x e. dom AE*y xAy))
18	16, 17	sylibr 175	. 2 |- ((Rel A /\ A.x e. dom AE!y xAy) -> Fun A)
19	13, 18	impbi 139	1 |- (Fun A <-> (Rel A /\ A.x e. dom AE!y xAy))

Syntax hints:   <-> wb 127   /\ wa 196  E.wex 678  E!weu 1007  E*wmo 1008   e. wcel 1092  A.wral 1201  <.cop 1810   class class class wbr 2054  dom cdm 2410  Rel wrel 2415  Fun wfun 2416

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-fun 2432

metamath.org