Theorem dfrnf 2561

Description: Range definition requiring only that x and y not be 'free' in A (but not necessarily absent from it).

Hypotheses

Ref	Expression
dfrnf.1	|- (z e. A -> A.x z e. A)
dfrnf.2	|- (z e. A -> A.y z e. A)

Assertion

Ref	Expression
dfrnf	|- ran A = {y | E.x<.x, y>. e. A}

Distinct variable group(s):   x,y,z   z,A

Proof of Theorem dfrnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrn3 2524	. 2 |- ran A = {w | E.v<.v, w>. e. A}
2		ax-17 925	. . . . 5 |- (z e. <.v, w>. -> A.x z e. <.v, w>.)
3		dfrnf.1	. . . . 5 |- (z e. A -> A.x z e. A)
4	2, 3	hbel 1172	. . . 4 |- (<.v, w>. e. A -> A.x<.v, w>. e. A)
5		ax-17 925	. . . 4 |- (<.x, w>. e. A -> A.v<.x, w>. e. A)
6		opeq1 1876	. . . . 5 |- (v = x -> <.v, w>. = <.x, w>.)
7	6	eleq1d 1155	. . . 4 |- (v = x -> (<.v, w>. e. A <-> <.x, w>. e. A))
8	4, 5, 7	cbvex 849	. . 3 |- (E.v<.v, w>. e. A <-> E.x<.x, w>. e. A)
9	8	biabi 1181	. 2 |- {w | E.v<.v, w>. e. A} = {w | E.x<.x, w>. e. A}
10		ax-17 925	. . . . 5 |- (z e. <.x, w>. -> A.y z e. <.x, w>.)
11		dfrnf.2	. . . . 5 |- (z e. A -> A.y z e. A)
12	10, 11	hbel 1172	. . . 4 |- (<.x, w>. e. A -> A.y<.x, w>. e. A)
13	12	hbex 701	. . 3 |- (E.x<.x, w>. e. A -> A.yE.x<.x, w>. e. A)
14		ax-17 925	. . 3 |- (E.x<.x, y>. e. A -> A.wE.x<.x, y>. e. A)
15		opeq2 1877	. . . . 5 |- (w = y -> <.x, w>. = <.x, y>.)
16	15	eleq1d 1155	. . . 4 |- (w = y -> (<.x, w>. e. A <-> <.x, y>. e. A))
17	16	biexdv 936	. . 3 |- (w = y -> (E.x<.x, w>. e. A <-> E.x<.x, y>. e. A))
18	13, 14, 17	cbvab 1423	. 2 |- {w | E.x<.x, w>. e. A} = {y | E.x<.x, y>. e. A}
19	1, 9, 18	3eqtr 1123	1 |- ran A = {y | E.x<.x, y>. e. A}

Syntax hints:   -> wi 2  A.wal 672  E.wex 678   = weq 797  {cab 1090   = wceq 1091   e. wcel 1092  <.cop 1810  ran crn 2411

This theorem is referenced by:  rnopab 2566

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429

metamath.org