Theorem dftr5 2044

Description: An alternate way of defining a transitive class.

Assertion

Ref	Expression
dftr5	|- (Tr A <-> A.x e. A A.y e. x y e. A)

Distinct variable group(s):   x,y,A

Proof of Theorem dftr5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr2 2043	. 2 |- (Tr A <-> A.yA.x((y e. x /\ x e. A) -> y e. A))
2		alcom 715	. 2 |- (A.yA.x((y e. x /\ x e. A) -> y e. A) <-> A.xA.y((y e. x /\ x e. A) -> y e. A))
3		impexp 276	. . . . . . 7 |- (((y e. x /\ x e. A) -> y e. A) <-> (y e. x -> (x e. A -> y e. A)))
4	3	bial 695	. . . . . 6 |- (A.y((y e. x /\ x e. A) -> y e. A) <-> A.y(y e. x -> (x e. A -> y e. A)))
5		df-ral 1205	. . . . . 6 |- (A.y e. x (x e. A -> y e. A) <-> A.y(y e. x -> (x e. A -> y e. A)))
6	4, 5	bitr4 154	. . . . 5 |- (A.y((y e. x /\ x e. A) -> y e. A) <-> A.y e. x (x e. A -> y e. A))
7		r19.21v 1260	. . . . 5 |- (A.y e. x (x e. A -> y e. A) <-> (x e. A -> A.y e. x y e. A))
8	6, 7	bitr 151	. . . 4 |- (A.y((y e. x /\ x e. A) -> y e. A) <-> (x e. A -> A.y e. x y e. A))
9	8	bial 695	. . 3 |- (A.xA.y((y e. x /\ x e. A) -> y e. A) <-> A.x(x e. A -> A.y e. x y e. A))
10		df-ral 1205	. . 3 |- (A.x e. A A.y e. x y e. A <-> A.x(x e. A -> A.y e. x y e. A))
11	9, 10	bitr4 154	. 2 |- (A.xA.y((y e. x /\ x e. A) -> y e. A) <-> A.x e. A A.y e. x y e. A)
12	1, 2, 11	3bitr 155	1 |- (Tr A <-> A.x e. A A.y e. x y e. A)

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672   e. wel 803   e. wcel 1092  A.wral 1201  Tr wtr 2041

This theorem is referenced by:  dftr3 2045

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-v 1349  df-in 1491  df-ss 1492  df-uni 1920  df-tr 2042

metamath.org