Theorem difex2 1951

Description: If the subtrahend of a class difference exists, then the minuend exists iff the difference exists.

Assertion

Ref	Expression
difex2	|- (B e. C -> (A e. V <-> (A \ B) e. V))

Proof of Theorem difex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difexg 1703	. . 3 |- (A e. V -> (A \ B) e. V)
2	1	a1i 7	. 2 |- (B e. C -> (A e. V -> (A \ B) e. V))
3		elisset 1354	. . . . . . . . 9 |- (B e. C -> B e. V)
4	3	anim1i 269	. . . . . . . 8 |- ((B e. C /\ (A \ B) e. V) -> (B e. V /\ (A \ B) e. V))
5	4	ancoms 334	. . . . . . 7 |- (((A \ B) e. V /\ B e. C) -> (B e. V /\ (A \ B) e. V))
6		unexb 1950	. . . . . . 7 |- ((B e. V /\ (A \ B) e. V) <-> (B u. (A \ B)) e. V)
7	5, 6	sylib 173	. . . . . 6 |- (((A \ B) e. V /\ B e. C) -> (B u. (A \ B)) e. V)
8		undif2 1762	. . . . . . 7 |- (B u. (A \ B)) = (B u. A)
9	8	eleq1i 1152	. . . . . 6 |- ((B u. (A \ B)) e. V <-> (B u. A) e. V)
10	7, 9	sylib 173	. . . . 5 |- (((A \ B) e. V /\ B e. C) -> (B u. A) e. V)
11		ssun2 1622	. . . . . 6 |- A (_ (B u. A)
12		ssexg 1702	. . . . . 6 |- ((B u. A) e. V -> (A (_ (B u. A) -> A e. V))
13	11, 12	mpi 44	. . . . 5 |- ((B u. A) e. V -> A e. V)
14	10, 13	syl 12	. . . 4 |- (((A \ B) e. V /\ B e. C) -> A e. V)
15	14	exp 291	. . 3 |- ((A \ B) e. V -> (B e. C -> A e. V))
16	15	com12 13	. 2 |- (B e. C -> ((A \ B) e. V -> A e. V))
17	2, 16	impbid 397	1 |- (B e. C -> (A e. V <-> (A \ B) e. V))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   e. wcel 1092  Vcvv 1348   \ cdif 1484   u. cun 1485   (_ wss 1487

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-uni 1920

metamath.org