Theorem discrlem 4716

Description: If a quadratic polynomial (with a nonnegative high-order coefficient) is nonnegative for all values, then its discriminant is non-positive.

Hypotheses

Ref	Expression
discrlem.1	|- A e. RR
discrlem.2	|- B e. RR
discrlem.3	|- C e. RR
discrlem.4	|- A.x e. RR 0 <_ (((A x. (x^2)) + (B x. x)) + C)

Assertion

Ref	Expression
discrlem	|- (0 <_ A -> ((B^2) - (4 x. (A x. C))) <_ 0)

Distinct variable group(s):   x,A   x,B   x,C

Proof of Theorem discrlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax0re 4063	. . 3 |- 0 e. RR
2		discrlem.1	. . 3 |- A e. RR
3	1, 2	leloe 4298	. 2 |- (0 <_ A <-> (0 < A \/ 0 = A))
4		discrlem.2	. . . 4 |- B e. RR
5		discrlem.3	. . . 4 |- C e. RR
6		cleqid 1102	. . . 4 |- -u(B / (2 x. A)) = -u(B / (2 x. A))
7		opreq1 3006	. . . . . . . . 9 |- (x = -u(B / (2 x. A)) -> (x^2) = (-u(B / (2 x. A))^2))
8	7	opreq2d 3013	. . . . . . . 8 |- (x = -u(B / (2 x. A)) -> (A x. (x^2)) = (A x. (-u(B / (2 x. A))^2)))
9		opreq2 3007	. . . . . . . 8 |- (x = -u(B / (2 x. A)) -> (B x. x) = (B x. -u(B / (2 x. A))))
10	8, 9	opreq12d 3014	. . . . . . 7 |- (x = -u(B / (2 x. A)) -> ((A x. (x^2)) + (B x. x)) = ((A x. (-u(B / (2 x. A))^2)) + (B x. -u(B / (2 x. A)))))
11	10	opreq1d 3012	. . . . . 6 |- (x = -u(B / (2 x. A)) -> (((A x. (x^2)) + (B x. x)) + C) = (((A x. (-u(B / (2 x. A))^2)) + (B x. -u(B / (2 x. A)))) + C))
12	11	breq2d 2072	. . . . 5 |- (x = -u(B / (2 x. A)) -> (0 <_ (((A x. (x^2)) + (B x. x)) + C) <-> 0 <_ (((A x. (-u(B / (2 x. A))^2)) + (B x. -u(B / (2 x. A)))) + C)))
13		discrlem.4	. . . . 5 |- A.x e. RR 0 <_ (((A x. (x^2)) + (B x. x)) + C)
14	12, 13	vtoclri 1393	. . . 4 |- (-u(B / (2 x. A)) e. RR -> 0 <_ (((A x. (-u(B / (2 x. A))^2)) + (B x. -u(B / (2 x. A)))) + C))
15	2, 4, 5, 6, 14	discrlem2 4714	. . 3 |- (0 < A -> ((B^2) - (4 x. (A x. C))) <_ 0)
16		cleqid 1102	. . . 4 |- ((C + 1) / -uB) = ((C + 1) / -uB)
17		opreq1 3006	. . . . . . . . 9 |- (x = ((C + 1) / -uB) -> (x^2) = (((C + 1) / -uB)^2))
18	17	opreq2d 3013	. . . . . . . 8 |- (x = ((C + 1) / -uB) -> (A x. (x^2)) = (A x. (((C + 1) / -uB)^2)))
19		opreq2 3007	. . . . . . . 8 |- (x = ((C + 1) / -uB) -> (B x. x) = (B x. ((C + 1) / -uB)))
20	18, 19	opreq12d 3014	. . . . . . 7 |- (x = ((C + 1) / -uB) -> ((A x. (x^2)) + (B x. x)) = ((A x. (((C + 1) / -uB)^2)) + (B x. ((C + 1) / -uB))))
21	20	opreq1d 3012	. . . . . 6 |- (x = ((C + 1) / -uB) -> (((A x. (x^2)) + (B x. x)) + C) = (((A x. (((C + 1) / -uB)^2)) + (B x. ((C + 1) / -uB))) + C))
22	21	breq2d 2072	. . . . 5 |- (x = ((C + 1) / -uB) -> (0 <_ (((A x. (x^2)) + (B x. x)) + C) <-> 0 <_ (((A x. (((C + 1) / -uB)^2)) + (B x. ((C + 1) / -uB))) + C)))
23	22, 13	vtoclri 1393	. . . 4 |- (((C + 1) / -uB) e. RR -> 0 <_ (((A x. (((C + 1) / -uB)^2)) + (B x. ((C + 1) / -uB))) + C))
24	2, 4, 5, 16, 23	discrlem3 4715	. . 3 |- (0 = A -> ((B^2) - (4 x. (A x. C))) <_ 0)
25	15, 24	jaoi 275	. 2 |- ((0 < A \/ 0 = A) -> ((B^2) - (4 x. (A x. C))) <_ 0)
26	3, 25	sylbi 174	1 |- (0 <_ A -> ((B^2) - (4 x. (A x. C))) <_ 0)

Syntax hints:   -> wi 2   \/ wo 195   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  RRcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   x. cmulc 4032   < clt 4033   - cmin 4089  -ucneg 4090   / cdiv 4091   <_ cle 4092  2c2 4454  4c4 4456  ^cexp 4675

This theorem is referenced by:  normlem6 5068

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676

metamath.org