Theorem disjsn 1836

Description: Intersection with singleton of non-member is disjoint.

Assertion

Ref	Expression
disjsn	|- ((A i^i {B}) = (/) <-> -. B e. A)

Proof of Theorem disjsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 1711	. . . 4 |- -. B e. (/)
2		eleq2 1150	. . . 4 |- ((A i^i {B}) = (/) -> (B e. (A i^i {B}) <-> B e. (/)))
3	1, 2	mtbiri 539	. . 3 |- ((A i^i {B}) = (/) -> -. B e. (A i^i {B}))
4		snidg 1828	. . . . 5 |- (B e. A -> B e. {B})
5	4	ancli 244	. . . 4 |- (B e. A -> (B e. A /\ B e. {B}))
6		elin 1635	. . . 4 |- (B e. (A i^i {B}) <-> (B e. A /\ B e. {B}))
7	5, 6	sylibr 175	. . 3 |- (B e. A -> B e. (A i^i {B}))
8	3, 7	nsyl 102	. 2 |- ((A i^i {B}) = (/) -> -. B e. A)
9		eleq1 1149	. . . . . . . 8 |- (x = B -> (x e. A <-> B e. A))
10	9	biimpcd 137	. . . . . . 7 |- (x e. A -> (x = B -> B e. A))
11		elsn 1820	. . . . . . 7 |- (x e. {B} <-> x = B)
12	10, 11	syl5ib 181	. . . . . 6 |- (x e. A -> (x e. {B} -> B e. A))
13	12	con3d 87	. . . . 5 |- (x e. A -> (-. B e. A -> -. x e. {B}))
14	13	com12 13	. . . 4 |- (-. B e. A -> (x e. A -> -. x e. {B}))
15	14	19.21aiv 943	. . 3 |- (-. B e. A -> A.x(x e. A -> -. x e. {B}))
16		disj1 1734	. . 3 |- ((A i^i {B}) = (/) <-> A.x(x e. A -> -. x e. {B}))
17	15, 16	sylibr 175	. 2 |- (-. B e. A -> (A i^i {B}) = (/))
18	8, 17	impbi 139	1 |- ((A i^i {B}) = (/) <-> -. B e. A)

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672   = wceq 1091   e. wcel 1092   i^i cin 1486  (/)c0 1707  {csn 1808

This theorem is referenced by:  disjsn2 1837  orddisj 2236  ndmima 2623  limensuci 3401  php 3409  infensuc 3484  kmlem2 3581  facnnt 4870  fac0 4871

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-nul 1708  df-sn 1811  df-pr 1812

metamath.org