Theorem divge0 4392

Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative.

Hypotheses

Ref	Expression
ltplus1.1	|- A e. RR
prodgt0.2	|- B e. RR

Assertion

Ref	Expression
divge0	|- ((0 <_ A /\ 0 < B) -> 0 <_ (A / B))

Proof of Theorem divge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltplus1.1	. . . . . . . . 9 |- A e. RR
2		prodgt0.2	. . . . . . . . 9 |- B e. RR
3	1, 2	divgt0 4390	. . . . . . . 8 |- ((0 < A /\ 0 < B) -> 0 < (A / B))
4	3	exp 291	. . . . . . 7 |- (0 < A -> (0 < B -> 0 < (A / B)))
5	4	com12 13	. . . . . 6 |- (0 < B -> (0 < A -> 0 < (A / B)))
6		opreq1 3006	. . . . . . . . . 10 |- (0 = A -> (0 / B) = (A / B))
7	6	cleq1d 1109	. . . . . . . . 9 |- (0 = A -> ((0 / B) = 0 <-> (A / B) = 0))
8	2	gt0ne0 4340	. . . . . . . . . 10 |- (0 < B -> B =/= 0)
9		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . 12 |- (B = if(B =/= 0, B, 1) -> (0 / B) = (0 / if(B =/= 0, B, 1)))
10	9	cleq1d 1109	. . . . . . . . . . 11 |- (B = if(B =/= 0, B, 1) -> ((0 / B) = 0 <-> (0 / if(B =/= 0, B, 1)) = 0))
11	2	recn 4098	. . . . . . . . . . . . 13 |- B e. CC
12		1cn 4101	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
13	11, 12	keepel 1796	. . . . . . . . . . . 12 |- if(B =/= 0, B, 1) e. CC
14		elimne0 4102	. . . . . . . . . . . 12 |- if(B =/= 0, B, 1) =/= 0
15	13, 14	divzer 4255	. . . . . . . . . . 11 |- (0 / if(B =/= 0, B, 1)) = 0
16	10, 15	dedth 1784	. . . . . . . . . 10 |- (B =/= 0 -> (0 / B) = 0)
17	8, 16	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (0 < B -> (0 / B) = 0)
18	7, 17	syl5bi 183	. . . . . . . 8 |- (0 = A -> (0 < B -> (A / B) = 0))
19	18	com12 13	. . . . . . 7 |- (0 < B -> (0 = A -> (A / B) = 0))
20		cleqcom 1103	. . . . . . 7 |- ((A / B) = 0 <-> 0 = (A / B))
21	19, 20	syl6ib 185	. . . . . 6 |- (0 < B -> (0 = A -> 0 = (A / B)))
22	5, 21	orim12d 436	. . . . 5 |- (0 < B -> ((0 < A \/ 0 = A) -> (0 < (A / B) \/ 0 = (A / B))))
23		ax0re 4063	. . . . . 6 |- 0 e. RR
24	23, 1	leloe 4298	. . . . 5 |- (0 <_ A <-> (0 < A \/ 0 = A))
25	22, 24	syl5ib 181	. . . 4 |- (0 < B -> (0 <_ A -> (0 < (A / B) \/ 0 = (A / B))))
26	1, 2	redivclz 4275	. . . . . . 7 |- (B =/= 0 -> (A / B) e. RR)
27	8, 26	syl 12	. . . . . 6 |- (0 < B -> (A / B) e. RR)
28	27, 23	jctil 240	. . . . 5 |- (0 < B -> (0 e. RR /\ (A / B) e. RR))
29		leloet 4284	. . . . 5 |- ((0 e. RR /\ (A / B) e. RR) -> (0 <_ (A / B) <-> (0 < (A / B) \/ 0 = (A / B))))
30	28, 29	syl 12	. . . 4 |- (0 < B -> (0 <_ (A / B) <-> (0 < (A / B) \/ 0 = (A / B))))
31	25, 30	sylibrd 179	. . 3 |- (0 < B -> (0 <_ A -> 0 <_ (A / B)))
32	31	com12 13	. 2 |- (0 <_ A -> (0 < B -> 0 <_ (A / B)))
33	32	imp 277	1 |- ((0 <_ A /\ 0 < B) -> 0 <_ (A / B))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   \/ wo 195   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092   =/= wne 1190  ifcif 1776   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  CCcc 4026  RRcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   < clt 4033   / cdiv 4091   <_ cle 4092

This theorem is referenced by:  divge0t 4403

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277

metamath.org