Theorem dm0rn0 2549

Description: An empty domain implies an empty range.

Assertion

Ref	Expression
dm0rn0	|- (dom A = (/) <-> ran A = (/))

Proof of Theorem dm0rn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		excom 728	. . . . . 6 |- (E.xE.y xAy <-> E.yE.x xAy)
2	1	negbii 162	. . . . 5 |- (-. E.xE.y xAy <-> -. E.yE.x xAy)
3		alnex 716	. . . . 5 |- (A.x -. E.y xAy <-> -. E.xE.y xAy)
4		alnex 716	. . . . 5 |- (A.y -. E.x xAy <-> -. E.yE.x xAy)
5	2, 3, 4	3bitr4 158	. . . 4 |- (A.x -. E.y xAy <-> A.y -. E.x xAy)
6		noel 1711	. . . . . 6 |- -. x e. (/)
7	6	nbn 542	. . . . 5 |- (-. E.y xAy <-> (E.y xAy <-> x e. (/)))
8	7	bial 695	. . . 4 |- (A.x -. E.y xAy <-> A.x(E.y xAy <-> x e. (/)))
9		noel 1711	. . . . . 6 |- -. y e. (/)
10	9	nbn 542	. . . . 5 |- (-. E.x xAy <-> (E.x xAy <-> y e. (/)))
11	10	bial 695	. . . 4 |- (A.y -. E.x xAy <-> A.y(E.x xAy <-> y e. (/)))
12	5, 8, 11	3bitr3 156	. . 3 |- (A.x(E.y xAy <-> x e. (/)) <-> A.y(E.x xAy <-> y e. (/)))
13		cleqabr 1175	. . 3 |- ({x | E.y xAy} = (/) <-> A.x(E.y xAy <-> x e. (/)))
14		cleqabr 1175	. . 3 |- ({y | E.x xAy} = (/) <-> A.y(E.x xAy <-> y e. (/)))
15	12, 13, 14	3bitr4 158	. 2 |- ({x | E.y xAy} = (/) <-> {y | E.x xAy} = (/))
16		df-dm 2428	. . 3 |- dom A = {x | E.y xAy}
17	16	cleq1i 1108	. 2 |- (dom A = (/) <-> {x | E.y xAy} = (/))
18		dfrn2 2523	. . 3 |- ran A = {y | E.x xAy}
19	18	cleq1i 1108	. 2 |- (ran A = (/) <-> {y | E.x xAy} = (/))
20	15, 17, 19	3bitr4 158	1 |- (dom A = (/) <-> ran A = (/))

Syntax hints:  -. wn 1   <-> wb 127  A.wal 672  E.wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   e. wcel 1092  (/)c0 1707   class class class wbr 2054  dom cdm 2410  ran crn 2411

This theorem is referenced by:  rn0 2567  relrn0 2568  ndmima 2623  f00 2773  map0b 3267  fodomb 3615

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429

metamath.org