Theorem dmco 2570

Description: Domain of a composition. Theorem 21 of [Suppes] p. 63.

Assertion

Ref	Expression
dmco	|- dom (A o. B) (_ dom B

Proof of Theorem dmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 2063	. . . . . . 7 |- (x(A o. B)y <-> <.x, y>. e. (A o. B))
2		visset 1350	. . . . . . . 8 |- x e. V
3		visset 1350	. . . . . . . 8 |- y e. V
4	2, 3	opelco 2509	. . . . . . 7 |- (<.x, y>. e. (A o. B) <-> E.z(xBz /\ zAy))
5	1, 4	bitr 151	. . . . . 6 |- (x(A o. B)y <-> E.z(xBz /\ zAy))
6	5	biex 733	. . . . 5 |- (E.y x(A o. B)y <-> E.yE.z(xBz /\ zAy))
7		excom 728	. . . . 5 |- (E.yE.z(xBz /\ zAy) <-> E.zE.y(xBz /\ zAy))
8	6, 7	bitr 151	. . . 4 |- (E.y x(A o. B)y <-> E.zE.y(xBz /\ zAy))
9		19.42v 966	. . . . . 6 |- (E.y(xBz /\ zAy) <-> (xBz /\ E.y zAy))
10	9	pm3.26bd 259	. . . . 5 |- (E.y(xBz /\ zAy) -> xBz)
11	10	19.22i 723	. . . 4 |- (E.zE.y(xBz /\ zAy) -> E.z xBz)
12	8, 11	sylbi 174	. . 3 |- (E.y x(A o. B)y -> E.z xBz)
13	12	ss2abi 1552	. 2 |- {x | E.y x(A o. B)y} (_ {x | E.z xBz}
14		df-dm 2428	. 2 |- dom (A o. B) = {x | E.y x(A o. B)y}
15		df-dm 2428	. 2 |- dom B = {x | E.z xBz}
16	13, 14, 15	3sstr4 1539	1 |- dom (A o. B) (_ dom B

Syntax hints:   /\ wa 196  E.wex 678  {cab 1090   e. wcel 1092   (_ wss 1487  <.cop 1810   class class class wbr 2054  dom cdm 2410   o. ccom 2414

This theorem is referenced by:  rnco 2571  coexg 2671

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-co 2427  df-dm 2428

metamath.org