Theorem dmfco 2864

Description: Domains of a function composition.

Assertion

Ref	Expression
dmfco	|- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (A e. dom (F o. G) <-> (G` A) e. dom F))

Proof of Theorem dmfco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmg 2529	. . . 4 |- (A e. dom G -> (A e. dom (F o. G) <-> E.y<.A, y>. e. (F o. G)))
2		visset 1350	. . . . . 6 |- y e. V
3		opelcog 2511	. . . . . 6 |- ((A e. dom G /\ y e. V) -> (<.A, y>. e. (F o. G) <-> E.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
4	2, 3	mpan2 519	. . . . 5 |- (A e. dom G -> (<.A, y>. e. (F o. G) <-> E.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
5	4	biexdv 936	. . . 4 |- (A e. dom G -> (E.y<.A, y>. e. (F o. G) <-> E.yE.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
6	1, 5	bitrd 406	. . 3 |- (A e. dom G -> (A e. dom (F o. G) <-> E.yE.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
7	6	adantl 305	. 2 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (A e. dom (F o. G) <-> E.yE.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
8		visset 1350	. . . . . . . . 9 |- z e. V
9	8	funfvop 2857	. . . . . . . 8 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> ((G` A) = z <-> <.A, z>. e. G))
10		cleqcom 1103	. . . . . . . 8 |- (z = (G` A) <-> (G` A) = z)
11	9, 10	syl5bb 410	. . . . . . 7 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (z = (G` A) <-> <.A, z>. e. G))
12	11	anbi1d 469	. . . . . 6 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> ((z = (G` A) /\ <.z, y>. e. F) <-> (<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
13	12	biexdv 936	. . . . 5 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (E.z(z = (G` A) /\ <.z, y>. e. F) <-> E.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
14		fvex 2838	. . . . . 6 |- (G` A) e. V
15		opeq1 1876	. . . . . . 7 |- (z = (G` A) -> <.z, y>. = <.(G` A), y>.)
16	15	eleq1d 1155	. . . . . 6 |- (z = (G` A) -> (<.z, y>. e. F <-> <.(G` A), y>. e. F))
17	14, 16	ceqsexv 1371	. . . . 5 |- (E.z(z = (G` A) /\ <.z, y>. e. F) <-> <.(G` A), y>. e. F)
18	13, 17	syl5bbr 412	. . . 4 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (<.(G` A), y>. e. F <-> E.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
19	18	biexdv 936	. . 3 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (E.y<.(G` A), y>. e. F <-> E.yE.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
20	14	eldm2 2528	. . 3 |- ((G` A) e. dom F <-> E.y<.(G` A), y>. e. F)
21	19, 20	syl5bb 410	. 2 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> ((G` A) e. dom F <-> E.yE.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, y>. e. F)))
22	7, 21	bitr4d 409	1 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (A e. dom (F o. G) <-> (G` A) e. dom F))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  E.wex 678   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  <.cop 1810  dom cdm 2410   o. ccom 2414  Fun wfun 2416  ` cfv 2422

This theorem is referenced by:  fvco 2865

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438

metamath.org