Theorem dmmulpq 3855

Description: Domain of multiplication on positive fractions.

Assertion

Ref	Expression
dmmulpq	|- dom .Q = (Q. X. Q.)

Proof of Theorem dmmulpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mq 3834	. . . 4 |- .Q = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. Q. /\ y e. Q.) /\ E.wE.vE.uE.f((x = [<.w, v>.] ~Q /\ y = [<.u, f>.] ~Q ) /\ z = [(<.w, v>. .pQ <.u, f>.)] ~Q ))}
2	1	dmeqi 2532	. . 3 |- dom .Q = dom {<.<.x, y>., z>. | ((x e. Q. /\ y e. Q.) /\ E.wE.vE.uE.f((x = [<.w, v>.] ~Q /\ y = [<.u, f>.] ~Q ) /\ z = [(<.w, v>. .pQ <.u, f>.)] ~Q ))}
3		dmoprabss 3032	. . 3 |- dom {<.<.x, y>., z>. | ((x e. Q. /\ y e. Q.) /\ E.wE.vE.uE.f((x = [<.w, v>.] ~Q /\ y = [<.u, f>.] ~Q ) /\ z = [(<.w, v>. .pQ <.u, f>.)] ~Q ))} (_ (Q. X. Q.)
4	2, 3	eqsstr 1530	. 2 |- dom .Q (_ (Q. X. Q.)
5		0npq 3844	. . 3 |- -. (/) e. Q.
6		mulclpq 3854	. . 3 |- ((x e. Q. /\ y e. Q.) -> (x .Q y) e. Q.)
7	5, 6	oprssdm 3056	. 2 |- (Q. X. Q.) (_ dom .Q
8	4, 7	eqssi 1517	1 |- dom .Q = (Q. X. Q.)

Syntax hints:   /\ wa 196  E.wex 678   = wceq 1091   e. wcel 1092  <.cop 1810   X. cxp 2408  dom cdm 2410  (class class class)co 3001  {copab2 3002  [cec 3198   .pQ cmpq 3771   ~Q ceq 3772  Q.cnq 3773   .Q cmq 3776

This theorem is referenced by:  mulcompq 3858  mulasspq 3859  distrpq 3861  recmulpq 3864  recclpq 3866  ltmpq 3871

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-mi 3796  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-mq 3834

metamath.org