Theorem dmun 2536

Description: The domain of a union is the union of domains. Exercise 56(a) of [Enderton] p. 65.

Assertion

Ref	Expression
dmun	|- dom (A u. B) = (dom A u. dom B)

Proof of Theorem dmun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 1601	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (A u. B) <-> (<.x, y>. e. A \/ <.x, y>. e. B))
2	1	biex 733	. . . 4 |- (E.y<.x, y>. e. (A u. B) <-> E.y(<.x, y>. e. A \/ <.x, y>. e. B))
3		19.43 767	. . . 4 |- (E.y(<.x, y>. e. A \/ <.x, y>. e. B) <-> (E.y<.x, y>. e. A \/ E.y<.x, y>. e. B))
4	2, 3	bitr 151	. . 3 |- (E.y<.x, y>. e. (A u. B) <-> (E.y<.x, y>. e. A \/ E.y<.x, y>. e. B))
5		visset 1350	. . . 4 |- x e. V
6	5	eldm2 2528	. . 3 |- (x e. dom (A u. B) <-> E.y<.x, y>. e. (A u. B))
7		elun 1601	. . . 4 |- (x e. (dom A u. dom B) <-> (x e. dom A \/ x e. dom B))
8	5	eldm2 2528	. . . . 5 |- (x e. dom A <-> E.y<.x, y>. e. A)
9	5	eldm2 2528	. . . . 5 |- (x e. dom B <-> E.y<.x, y>. e. B)
10	8, 9	orbi12i 216	. . . 4 |- ((x e. dom A \/ x e. dom B) <-> (E.y<.x, y>. e. A \/ E.y<.x, y>. e. B))
11	7, 10	bitr 151	. . 3 |- (x e. (dom A u. dom B) <-> (E.y<.x, y>. e. A \/ E.y<.x, y>. e. B))
12	4, 6, 11	3bitr4 158	. 2 |- (x e. dom (A u. B) <-> x e. (dom A u. dom B))
13	12	cleqri 1101	1 |- dom (A u. B) = (dom A u. dom B)

Syntax hints:   \/ wo 195  E.wex 678   = wceq 1091   e. wcel 1092   u. cun 1485  <.cop 1810  dom cdm 2410

This theorem is referenced by:  rnun 2644  fnun 2730  tfrlem10 2958  sbthlem5 3353  fodomb 3615

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-un 1490  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-dm 2428

metamath.org