Theorem dmxp 2552

Description: The domain of a cross product. Part of Theorem 3.13(x) of [Monk1] p. 37.

Assertion

Ref	Expression
dmxp	|- (-. B = (/) -> dom (A X. B) = A)

Proof of Theorem dmxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 1714	. . . . 5 |- (-. B = (/) <-> E.y y e. B)
2	1	biimp 133	. . . 4 |- (-. B = (/) -> E.y y e. B)
3	2	a1d 14	. . 3 |- (-. B = (/) -> (x e. A -> E.y y e. B))
4	3	r19.21aiv 1259	. 2 |- (-. B = (/) -> A.x e. A E.y y e. B)
5		dmopab2 2541	. . 3 |- (A.x e. A E.y y e. B <-> dom {<.x, y>. | (x e. A /\ y e. B)} = A)
6		df-xp 2424	. . . . 5 |- (A X. B) = {<.x, y>. | (x e. A /\ y e. B)}
7	6	dmeqi 2532	. . . 4 |- dom (A X. B) = dom {<.x, y>. | (x e. A /\ y e. B)}
8	7	cleq1i 1108	. . 3 |- (dom (A X. B) = A <-> dom {<.x, y>. | (x e. A /\ y e. B)} = A)
9	5, 8	bitr4 154	. 2 |- (A.x e. A E.y y e. B <-> dom (A X. B) = A)
10	4, 9	sylib 173	1 |- (-. B = (/) -> dom (A X. B) = A)

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196  E.wex 678   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  (/)c0 1707  {copab 2055   X. cxp 2408  dom cdm 2410

This theorem is referenced by:  dmxpid 2553  rnxp 2657  fconst 2774  fodomb 3615

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-dm 2428

metamath.org