Theorem domnsym 3365

Description: Theorem 22(i) of [Suppes] p. 97.

Assertion

Ref	Expression
domnsym	|- (A ~<_ B -> -. B ~< A)

Proof of Theorem domnsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2 3292	. 2 |- (A ~<_ B <-> (A ~< B \/ A ~~ B))
2		sdomnsym 3364	. . 3 |- (A ~< B -> -. B ~< A)
3		ensymg 3316	. . . . . 6 |- (B e. V -> (A ~~ B -> B ~~ A))
4	3	con3d 87	. . . . 5 |- (B e. V -> (-. B ~~ A -> -. A ~~ B))
5		relsdom 3279	. . . . . 6 |- Rel ~<
6	5	brrelexi 2447	. . . . 5 |- (B ~< A -> B e. V)
7		sdomnen 3291	. . . . 5 |- (B ~< A -> -. B ~~ A)
8	4, 6, 7	sylc 62	. . . 4 |- (B ~< A -> -. A ~~ B)
9	8	con2i 89	. . 3 |- (A ~~ B -> -. B ~< A)
10	2, 9	jaoi 275	. 2 |- ((A ~< B \/ A ~~ B) -> -. B ~< A)
11	1, 10	sylbi 174	1 |- (A ~<_ B -> -. B ~< A)

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   \/ wo 195   e. wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054   ~~ cen 3271   ~<_ cdom 3272   ~< csdm 3273

This theorem is referenced by:  sdom0 3369  nndomo 3416  carddom 3642  alephordi 3679

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276

metamath.org