Theorem ecopoprdm 3245

Description: Assuming the operation F is commutative, compute the domain the relation R specified by the first hypothesis.

Hypotheses

Ref	Expression
ecopopr.1	|- R = {<.x, y>. | ((x e. (S X. S) /\ y e. (S X. S)) /\ E.zE.wE.vE.u((x = <.z, w>. /\ y = <.v, u>.) /\ (zFu) = (wFv)))}
ecopopr.com	|- (xFy) = (yFx)

Assertion

Ref	Expression
ecopoprdm	|- dom R = (S X. S)

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,v,u,F   x,S,y,z,w,v,u

Proof of Theorem ecopoprdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecopopr.1	. . . . 5 |- R = {<.x, y>. | ((x e. (S X. S) /\ y e. (S X. S)) /\ E.zE.wE.vE.u((x = <.z, w>. /\ y = <.v, u>.) /\ (zFu) = (wFv)))}
2		opabssxp 2468	. . . . 5 |- {<.x, y>. | ((x e. (S X. S) /\ y e. (S X. S)) /\ E.zE.wE.vE.u((x = <.z, w>. /\ y = <.v, u>.) /\ (zFu) = (wFv)))} (_ ((S X. S) X. (S X. S))
3	1, 2	eqsstr 1530	. . . 4 |- R (_ ((S X. S) X. (S X. S))
4		dmss 2530	. . . 4 |- (R (_ ((S X. S) X. (S X. S)) -> dom R (_ dom ((S X. S) X. (S X. S)))
5	3, 4	ax-mp 6	. . 3 |- dom R (_ dom ((S X. S) X. (S X. S))
6		dmxpid 2553	. . 3 |- dom ((S X. S) X. (S X. S)) = (S X. S)
7	5, 6	sseqtr 1532	. 2 |- dom R (_ (S X. S)
8		relxp 2486	. . 3 |- Rel (S X. S)
9		visset 1350	. . . . 5 |- g e. V
10	9	opelxp 2452	. . . 4 |- (<.f, g>. e. (S X. S) <-> (f e. S /\ g e. S))
11		visset 1350	. . . . . . . 8 |- f e. V
12		ecopopr.com	. . . . . . . 8 |- (xFy) = (yFx)
13	11, 9, 12	caoprcom 3067	. . . . . . 7 |- (fFg) = (gFf)
14	1	ecopopreq 3244	. . . . . . . 8 |- (((f e. S /\ g e. S) /\ (f e. S /\ g e. S)) -> (<.f, g>.R<.f, g>. <-> (fFg) = (gFf)))
15	14	anidms 332	. . . . . . 7 |- ((f e. S /\ g e. S) -> (<.f, g>.R<.f, g>. <-> (fFg) = (gFf)))
16	13, 15	mpbiri 169	. . . . . 6 |- ((f e. S /\ g e. S) -> <.f, g>.R<.f, g>.)
17		df-br 2063	. . . . . 6 |- (<.f, g>.R<.f, g>. <-> <.<.f, g>., <.f, g>.>. e. R)
18	16, 17	sylib 173	. . . . 5 |- ((f e. S /\ g e. S) -> <.<.f, g>., <.f, g>.>. e. R)
19		opex 1893	. . . . . 6 |- <.f, g>. e. V
20	19	opeldm 2534	. . . . 5 |- (<.<.f, g>., <.f, g>.>. e. R -> <.f, g>. e. dom R)
21	18, 20	syl 12	. . . 4 |- ((f e. S /\ g e. S) -> <.f, g>. e. dom R)
22	10, 21	sylbi 174	. . 3 |- (<.f, g>. e. (S X. S) -> <.f, g>. e. dom R)
23	8, 22	relssi 2481	. 2 |- (S X. S) (_ dom R
24	7, 23	eqssi 1517	1 |- dom R = (S X. S)

Syntax hints:   <-> wb 127   /\ wa 196  E.wex 678   = wceq 1091   e. wcel 1092   (_ wss 1487  <.cop 1810   class class class wbr 2054  {copab 2055   X. cxp 2408  dom cdm 2410  (class class class)co 3001

This theorem is referenced by:  dmenq 3839  dmenr 3969

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438  df-opr 3003

metamath.org