Theorem ecopqsi 3230

Description: "Closure" law for equivalence class of ordered pairs.

Hypotheses

Ref	Expression
ecopqsi.1	|- R e. V
ecopqsi.2	|- S = ((A X. A)/.R)

Assertion

Ref	Expression
ecopqsi	|- ((B e. A /\ C e. A) -> [<.B, C>.]R e. S)

Proof of Theorem ecopqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 2455	. 2 |- ((B e. A /\ C e. A) -> <.B, C>. e. (A X. A))
2		ecopqsi.1	. . . 4 |- R e. V
3	2	ecelqsi 3229	. . 3 |- (<.B, C>. e. (A X. A) -> [<.B, C>.]R e. ((A X. A)/.R))
4		ecopqsi.2	. . . 4 |- S = ((A X. A)/.R)
5	4	eleq2i 1153	. . 3 |- ([<.B, C>.]R e. S <-> [<.B, C>.]R e. ((A X. A)/.R))
6	3, 5	sylibr 175	. 2 |- (<.B, C>. e. (A X. A) -> [<.B, C>.]R e. S)
7	1, 6	syl 12	1 |- ((B e. A /\ C e. A) -> [<.B, C>.]R e. S)

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  <.cop 1810   X. cxp 2408  [cec 3198  /.cqs 3199

This theorem is referenced by:  brecop 3242  prlem934 3933

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-ec 3202  df-qs 3205

metamath.org