Theorem eirrv 3449

Description: The membership relation is irreflexive: no set is a member of itself. Theorem 105 of [Suppes] p. 54. (This is trivial to prove from zfregfr 3452 and efrirr 2180, but this proof is direct from the Axiom of Regularity.)

Assertion

Ref	Expression
eirrv	|- -. x e. x

Proof of Theorem eirrv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1149	. . . 4 |- (y = x -> (y e. {x} <-> x e. {x}))
2		visset 1350	. . . . 5 |- x e. V
3	2	snid 1830	. . . 4 |- x e. {x}
4	1, 3	a4w1 930	. . 3 |- E.y y e. {x}
5		snex 1859	. . . 4 |- {x} e. V
6	5	zfregcl 3446	. . 3 |- (E.y y e. {x} -> E.y e. {x}A.z e. y -. z e. {x})
7	4, 6	ax-mp 6	. 2 |- E.y e. {x}A.z e. y -. z e. {x}
8		ax-14 805	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> (x e. x -> x e. y))
9	8	eqcoms 813	. . . . . . . 8 |- (y = x -> (x e. x -> x e. y))
10	9	com12 13	. . . . . . 7 |- (x e. x -> (y = x -> x e. y))
11		elsn 1820	. . . . . . 7 |- (y e. {x} <-> y = x)
12	10, 11	syl5ib 181	. . . . . 6 |- (x e. x -> (y e. {x} -> x e. y))
13		eleq1 1149	. . . . . . . . 9 |- (z = x -> (z e. {x} <-> x e. {x}))
14	13	negbid 463	. . . . . . . 8 |- (z = x -> (-. z e. {x} <-> -. x e. {x}))
15	14	rcla4v 1402	. . . . . . 7 |- (A.z e. y -. z e. {x} -> (x e. y -> -. x e. {x}))
16	3, 15	mt2i 97	. . . . . 6 |- (A.z e. y -. z e. {x} -> -. x e. y)
17	12, 16	nsyli 106	. . . . 5 |- (x e. x -> (A.z e. y -. z e. {x} -> -. y e. {x}))
18	17	con2d 83	. . . 4 |- (x e. x -> (y e. {x} -> -. A.z e. y -. z e. {x}))
19	18	r19.21aiv 1259	. . 3 |- (x e. x -> A.y e. {x} -. A.z e. y -. z e. {x})
20		ralnex 1209	. . 3 |- (A.y e. {x} -. A.z e. y -. z e. {x} <-> -. E.y e. {x}A.z e. y -. z e. {x})
21	19, 20	sylib 173	. 2 |- (x e. x -> -. E.y e. {x}A.z e. y -. z e. {x})
22	7, 21	mt2 96	1 |- -. x e. x

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2  E.wex 678   = weq 797   e. wel 803   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202  {csn 1808

This theorem is referenced by:  eirr 3450  aceq6b 3565  nd1 3732  nd2 3733  nd3 3734  axunnd 3742  axregndlem1 3748  axregndlem2 3749  axregnd 3750

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-reg 1078

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812

metamath.org