Theorem elimasn 2617

Description: Membership in an image of a singleton.

Hypotheses

Ref	Expression
elimasn.1	|- B e. V
elimasn.2	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
elimasn	|- (C e. (A"{B}) <-> <.B, C>. e. A)

Proof of Theorem elimasn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elimasn.2	. . 3 |- C e. V
2	1	elima3 2608	. 2 |- (C e. (A"{B}) <-> E.x(x e. {B} /\ <.x, C>. e. A))
3		elsn 1820	. . . 4 |- (x e. {B} <-> x = B)
4	3	anbi1i 368	. . 3 |- ((x e. {B} /\ <.x, C>. e. A) <-> (x = B /\ <.x, C>. e. A))
5	4	biex 733	. 2 |- (E.x(x e. {B} /\ <.x, C>. e. A) <-> E.x(x = B /\ <.x, C>. e. A))
6		elimasn.1	. . 3 |- B e. V
7		opeq1 1876	. . . 4 |- (x = B -> <.x, C>. = <.B, C>.)
8	7	eleq1d 1155	. . 3 |- (x = B -> (<.x, C>. e. A <-> <.B, C>. e. A))
9	6, 8	ceqsexv 1371	. 2 |- (E.x(x = B /\ <.x, C>. e. A) <-> <.B, C>. e. A)
10	2, 5, 9	3bitr 155	1 |- (C e. (A"{B}) <-> <.B, C>. e. A)

Syntax hints:   <-> wb 127   /\ wa 196  E.wex 678   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  {csn 1808  <.cop 1810  "cima 2413

This theorem is referenced by:  eliniseg 2618  funfvima3 2906  pw2en 3348

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431

metamath.org