Theorem elni 3798

Description: Membership in the class of positive integers.

Assertion

Ref	Expression
elni	|- (A e. N. <-> (A e. om /\ -. A = (/)))

Proof of Theorem elni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 3794	. . 3 |- N. = (om \ {(/)})
2	1	eleq2i 1153	. 2 |- (A e. N. <-> A e. (om \ {(/)}))
3		eldif 1496	. 2 |- (A e. (om \ {(/)}) <-> (A e. om /\ -. A e. {(/)}))
4		0ex 1745	. . . . 5 |- (/) e. V
5	4	elsnc2 1832	. . . 4 |- (A e. {(/)} <-> A = (/))
6	5	negbii 162	. . 3 |- (-. A e. {(/)} <-> -. A = (/))
7	6	anbi2i 367	. 2 |- ((A e. om /\ -. A e. {(/)}) <-> (A e. om /\ -. A = (/)))
8	2, 3, 7	3bitr 155	1 |- (A e. N. <-> (A e. om /\ -. A = (/)))

Syntax hints:  -. wn 1   <-> wb 127   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092   \ cdif 1484  (/)c0 1707  {csn 1808  omcom 2372  N.cnpi 3766

This theorem is referenced by:  elni2 3799  0npi 3804  1pi 3805  addclpi 3814  mulclpi 3815  nlt1pi 3827  indpi 3828

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-nul 1708  df-sn 1811  df-pr 1812  df-ni 3794

metamath.org