Theorem elnnz 4572

Description: Natural number property expressed in terms of integers.

Assertion

Ref	Expression
elnnz	|- (A e. NN <-> (A e. ZZ /\ 0 < A))

Proof of Theorem elnnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnret 4427	. . . . 5 |- (A e. NN -> A e. RR)
2		orc 225	. . . . 5 |- (A e. NN -> (A e. NN \/ (-uA e. NN \/ A = 0)))
3	1, 2	jca 236	. . . 4 |- (A e. NN -> (A e. RR /\ (A e. NN \/ (-uA e. NN \/ A = 0))))
4		nngt0t 4441	. . . 4 |- (A e. NN -> 0 < A)
5	3, 4	jca 236	. . 3 |- (A e. NN -> ((A e. RR /\ (A e. NN \/ (-uA e. NN \/ A = 0))) /\ 0 < A))
6		idd 11	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (A e. NN -> A e. NN))
7		lt0neg2t 4371	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. RR -> (0 < A <-> -uA < 0))
8		renegclt 4172	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A e. RR -> -uA e. RR)
9		ax0re 4063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
10		ltnsymt 4294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((-uA e. RR /\ 0 e. RR) -> (-uA < 0 -> -. 0 < -uA))
11	9, 10	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-uA e. RR -> (-uA < 0 -> -. 0 < -uA))
12	8, 11	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. RR -> (-uA < 0 -> -. 0 < -uA))
13	7, 12	sylbid 178	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. RR -> (0 < A -> -. 0 < -uA))
14	13	imp 277	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> -. 0 < -uA)
15		nngt0t 4441	. . . . . . . . . . 11 |- (-uA e. NN -> 0 < -uA)
16	14, 15	nsyl 102	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> -. -uA e. NN)
17		ltnet 4282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((0 e. RR /\ A e. RR) -> (0 < A -> -. 0 = A))
18	9, 17	mpan 518	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. RR -> (0 < A -> -. 0 = A))
19	18	imp 277	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> -. 0 = A)
20		cleqcom 1103	. . . . . . . . . . . 12 |- (A = 0 <-> 0 = A)
21	20	negbii 162	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A = 0 <-> -. 0 = A)
22	19, 21	sylibr 175	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> -. A = 0)
23	16, 22	jca 236	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (-. -uA e. NN /\ -. A = 0))
24		ioran 254	. . . . . . . . 9 |- (-. (-uA e. NN \/ A = 0) <-> (-. -uA e. NN /\ -. A = 0))
25	23, 24	sylibr 175	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> -. (-uA e. NN \/ A = 0))
26	25	pm2.21d 74	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> ((-uA e. NN \/ A = 0) -> A e. NN))
27	6, 26	jaod 329	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> ((A e. NN \/ (-uA e. NN \/ A = 0)) -> A e. NN))
28	27	exp 291	. . . . 5 |- (A e. RR -> (0 < A -> ((A e. NN \/ (-uA e. NN \/ A = 0)) -> A e. NN)))
29	28	com23 32	. . . 4 |- (A e. RR -> ((A e. NN \/ (-uA e. NN \/ A = 0)) -> (0 < A -> A e. NN)))
30	29	imp31 280	. . 3 |- (((A e. RR /\ (A e. NN \/ (-uA e. NN \/ A = 0))) /\ 0 < A) -> A e. NN)
31	5, 30	impbi 139	. 2 |- (A e. NN <-> ((A e. RR /\ (A e. NN \/ (-uA e. NN \/ A = 0))) /\ 0 < A))
32		elz 4565	. . . 4 |- (A e. ZZ <-> (A e. RR /\ (A = 0 \/ A e. NN \/ -uA e. NN)))
33		3orrot 587	. . . . . 6 |- ((A = 0 \/ A e. NN \/ -uA e. NN) <-> (A e. NN \/ -uA e. NN \/ A = 0))
34		3orass 584	. . . . . 6 |- ((A e. NN \/ -uA e. NN \/ A = 0) <-> (A e. NN \/ (-uA e. NN \/ A = 0)))
35	33, 34	bitr 151	. . . . 5 |- ((A = 0 \/ A e. NN \/ -uA e. NN) <-> (A e. NN \/ (-uA e. NN \/ A = 0)))
36	35	anbi2i 367	. . . 4 |- ((A e. RR /\ (A = 0 \/ A e. NN \/ -uA e. NN)) <-> (A e. RR /\ (A e. NN \/ (-uA e. NN \/ A = 0))))
37	32, 36	bitr 151	. . 3 |- (A e. ZZ <-> (A e. RR /\ (A e. NN \/ (-uA e. NN \/ A = 0))))
38	37	anbi1i 368	. 2 |- ((A e. ZZ /\ 0 < A) <-> ((A e. RR /\ (A e. NN \/ (-uA e. NN \/ A = 0))) /\ 0 < A))
39	31, 38	bitr4 154	1 |- (A e. NN <-> (A e. ZZ /\ 0 < A))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   \/ wo 195   /\ wa 196   \/ w3o 580   = wceq 1091   e. wcel 1092   class class class wbr 2054  RRcr 4027  0cc0 4028   < clt 4033  -ucneg 4090  NNcn 4093  ZZcz 4095

This theorem is referenced by:  elnn0z 4574  nnssz 4577  nn0subt 4587  elnn0nn 4593  znnsubt 4595  sqznn 4600  sqr2irr 4782

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423  df-z 4564

metamath.org