Theorem elom3 3478

Description: A simplification of elom 2375 assuming the Axiom of Infinity.

Assertion

Ref	Expression
elom3	|- (A e. om <-> A.x(Lim x -> A e. x))

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem elom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elomg 2376	. . . 4 |- (A e. om -> (A e. om <-> (Ord A /\ A.x(Lim x -> A e. x))))
2	1	ibi 449	. . 3 |- (A e. om -> (Ord A /\ A.x(Lim x -> A e. x)))
3	2	pm3.27d 262	. 2 |- (A e. om -> A.x(Lim x -> A e. x))
4		limom 2387	. . 3 |- Lim om
5		omex 3475	. . . 4 |- om e. V
6		limeq 2211	. . . . 5 |- (x = om -> (Lim x <-> Lim om))
7		eleq2 1150	. . . . 5 |- (x = om -> (A e. x <-> A e. om))
8	6, 7	imbi12d 474	. . . 4 |- (x = om -> ((Lim x -> A e. x) <-> (Lim om -> A e. om)))
9	5, 8	cla4v 1400	. . 3 |- (A.x(Lim x -> A e. x) -> (Lim om -> A e. om))
10	4, 9	mpi 44	. 2 |- (A.x(Lim x -> A e. x) -> A e. om)
11	3, 10	impbi 139	1 |- (A e. om <-> A.x(Lim x -> A e. x))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672   = wceq 1091   e. wcel 1092  Ord word 2198  Lim wlim 2200  omcom 2372

This theorem is referenced by:  dfom4 3479

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970

metamath.org