Theorem elrn 2562

Description: Membership in a range.

Hypothesis

Ref	Expression
elrn.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
elrn	|- (A e. ran B <-> E.x<.x, A>. e. B)

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem elrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrn.1	. 2 |- A e. V
2		opeq2 1877	. . . 4 |- (y = A -> <.x, y>. = <.x, A>.)
3	2	eleq1d 1155	. . 3 |- (y = A -> (<.x, y>. e. B <-> <.x, A>. e. B))
4	3	biexdv 936	. 2 |- (y = A -> (E.x<.x, y>. e. B <-> E.x<.x, A>. e. B))
5		dfrn3 2524	. 2 |- ran B = {y | E.x<.x, y>. e. B}
6	1, 4, 5	elab2 1419	1 |- (A e. ran B <-> E.x<.x, A>. e. B)

Syntax hints:   <-> wb 127  E.wex 678   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  <.cop 1810  ran crn 2411

This theorem is referenced by:  elrn2 2563  hbrn 2564  rnuni 2646  relssdr 2668  fvrn 2888  tz7.48-1 2994

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429

metamath.org