Theorem elspan 5449

Description: Membership in the span of a subset of Hilbert space.

Hypothesis

Ref	Expression
elspan.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
elspan	|- (A (_ H~ -> (B e. (span` A) <-> A.x e. SH (A (_ x -> B e. x)))

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem elspan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanvalt 5300	. . 3 |- (A (_ H~ -> (span` A) = |^|{x e. SH | A (_ x})
2	1	eleq2d 1156	. 2 |- (A (_ H~ -> (B e. (span` A) <-> B e. |^|{x e. SH | A (_ x}))
3		elspan.1	. . 3 |- B e. V
4	3	elintrab 1977	. 2 |- (B e. |^|{x e. SH | A (_ x} <-> A.x e. SH (A (_ x -> B e. x))
5	2, 4	syl6bb 414	1 |- (A (_ H~ -> (B e. (span` A) <-> A.x e. SH (A (_ x -> B e. x)))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   e. wcel 1092  A.wral 1201  {crab 1204  Vcvv 1348   (_ wss 1487  |^|cint 1965  ` cfv 2422  H~chil 4958  SHcsh 4967  spancspn 4971

This theorem is referenced by:  spanun 5450  spansn 5462

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvzercl 4987  ax-hvmulcl 4989

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-fv 2438  df-opr 3003  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-span 5276

metamath.org