Theorem elun 1601

Description: Expansion of membership in class union. Theorem 12 of [Suppes] p. 25.

Assertion

Ref	Expression
elun	|- (A e. (B u. C) <-> (A e. B \/ A e. C))

Proof of Theorem elun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 1354	. 2 |- (A e. (B u. C) -> A e. V)
2		elisset 1354	. . 3 |- (A e. B -> A e. V)
3		elisset 1354	. . 3 |- (A e. C -> A e. V)
4	2, 3	jaoi 275	. 2 |- ((A e. B \/ A e. C) -> A e. V)
5		eleq1 1149	. . . 4 |- (x = A -> (x e. B <-> A e. B))
6		eleq1 1149	. . . 4 |- (x = A -> (x e. C <-> A e. C))
7	5, 6	orbi12d 475	. . 3 |- (x = A -> ((x e. B \/ x e. C) <-> (A e. B \/ A e. C)))
8		df-un 1490	. . 3 |- (B u. C) = {x | (x e. B \/ x e. C)}
9	7, 8	elab2g 1418	. 2 |- (A e. V -> (A e. (B u. C) <-> (A e. B \/ A e. C)))
10	1, 4, 9	pm5.21nii 504	1 |- (A e. (B u. C) <-> (A e. B \/ A e. C))

Syntax hints:   <-> wb 127   \/ wo 195   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348   u. cun 1485

This theorem is referenced by:  uneqri 1602  uncom 1604  uneq1 1605  hbun 1614  unass 1615  ssun1 1621  unss1 1627  unss 1632  dfun2 1668  indi 1676  undi 1677  unineq 1680  symdif2 1690  unab 1691  undif4 1744  dfpr2 1821  eltp 1834  pwunss 1916  pwssun 1917  uniun 1934  intun 1989  iinun2 2031  iunxun 2035  iinuni 2036  iununi 2037  elsuci 2289  elsucg 2290  elsuc2g 2291  sucid 2304  suceloni 2314  ordsucun 2333  opthprc 2457  xpundi 2461  xpundir 2462  dmun 2536  cnvun 2642  funun 2700  erref 3212  brdom2 3292  sucprcreg 3451  rankun 3535  kmlem2 3581  unxpdomlem 3649  iscard3 3693  elnn0 4536  shunss 5338

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-un 1490

metamath.org