Theorem elxp 2442

Description: Membership in a cross product.

Assertion

Ref	Expression
elxp	|- (A e. (B X. C) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,B,y   x,C,y

Proof of Theorem elxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xp 2424	. . 3 |- (B X. C) = {<.x, y>. | (x e. B /\ y e. C)}
2	1	eleq2i 1153	. 2 |- (A e. (B X. C) <-> A e. {<.x, y>. | (x e. B /\ y e. C)})
3		elopab 2110	. 2 |- (A e. {<.x, y>. | (x e. B /\ y e. C)} <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
4	2, 3	bitr 151	1 |- (A e. (B X. C) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))

Syntax hints:   <-> wb 127   /\ wa 196  E.wex 678   = wceq 1091   e. wcel 1092  <.cop 1810  {copab 2055   X. cxp 2408

This theorem is referenced by:  elxp2 2443  hbxp 2444  opelxpex 2445  opelxp 2452  ralxp 2456  elxp3 2460  elvv 2464  xpss 2465  xp0r 2474  0nelxp 2475  elxp4 2640  elxp5 2641  fnoprval 3042  xpsnen 3339  xpcomen 3343  xpassen 3344  aceq5lem1 3558  aceq5lem4 3561  elreal 4044

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-opab 2098  df-xp 2424

metamath.org