Theorem elznn0 4576

Description: Integer property expressed in terms of nonnegative integers.

Assertion

Ref	Expression
elznn0	|- (A e. ZZ <-> (A e. RR /\ (A e. NN0 \/ -uA e. NN0)))

Proof of Theorem elznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 4565	. 2 |- (A e. ZZ <-> (A e. RR /\ (A = 0 \/ A e. NN \/ -uA e. NN)))
2		elnn0 4536	. . . . . 6 |- (A e. NN0 <-> (A e. NN \/ A = 0))
3	2	a1i 7	. . . . 5 |- (A e. RR -> (A e. NN0 <-> (A e. NN \/ A = 0)))
4		recnt 4097	. . . . . . . . 9 |- (A e. RR -> A e. CC)
5		0cn 4100	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. CC
6		negcon1t 4167	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ 0 e. CC) -> (-uA = 0 <-> -u0 = A))
7	5, 6	mpan2 519	. . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> (-uA = 0 <-> -u0 = A))
8	4, 7	syl 12	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> (-uA = 0 <-> -u0 = A))
9		neg0 4170	. . . . . . . . . 10 |- -u0 = 0
10	9	cleq1i 1108	. . . . . . . . 9 |- (-u0 = A <-> 0 = A)
11		cleqcom 1103	. . . . . . . . 9 |- (0 = A <-> A = 0)
12	10, 11	bitr 151	. . . . . . . 8 |- (-u0 = A <-> A = 0)
13	8, 12	syl6bb 414	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> (-uA = 0 <-> A = 0))
14	13	orbi2d 466	. . . . . 6 |- (A e. RR -> ((-uA e. NN \/ -uA = 0) <-> (-uA e. NN \/ A = 0)))
15		elnn0 4536	. . . . . 6 |- (-uA e. NN0 <-> (-uA e. NN \/ -uA = 0))
16	14, 15	syl5bb 410	. . . . 5 |- (A e. RR -> (-uA e. NN0 <-> (-uA e. NN \/ A = 0)))
17	3, 16	orbi12d 475	. . . 4 |- (A e. RR -> ((A e. NN0 \/ -uA e. NN0) <-> ((A e. NN \/ A = 0) \/ (-uA e. NN \/ A = 0))))
18		3orass 584	. . . . 5 |- ((A = 0 \/ A e. NN \/ -uA e. NN) <-> (A = 0 \/ (A e. NN \/ -uA e. NN)))
19		orcom 209	. . . . . 6 |- ((A = 0 \/ (A e. NN \/ -uA e. NN)) <-> ((A e. NN \/ -uA e. NN) \/ A = 0))
20		orordir 223	. . . . . 6 |- (((A e. NN \/ -uA e. NN) \/ A = 0) <-> ((A e. NN \/ A = 0) \/ (-uA e. NN \/ A = 0)))
21	19, 20	bitr 151	. . . . 5 |- ((A = 0 \/ (A e. NN \/ -uA e. NN)) <-> ((A e. NN \/ A = 0) \/ (-uA e. NN \/ A = 0)))
22	18, 21	bitr2 152	. . . 4 |- (((A e. NN \/ A = 0) \/ (-uA e. NN \/ A = 0)) <-> (A = 0 \/ A e. NN \/ -uA e. NN))
23	17, 22	syl6rbb 415	. . 3 |- (A e. RR -> ((A = 0 \/ A e. NN \/ -uA e. NN) <-> (A e. NN0 \/ -uA e. NN0)))
24	23	pm5.32i 489	. 2 |- ((A e. RR /\ (A = 0 \/ A e. NN \/ -uA e. NN)) <-> (A e. RR /\ (A e. NN0 \/ -uA e. NN0)))
25	1, 24	bitr 151	1 |- (A e. ZZ <-> (A e. RR /\ (A e. NN0 \/ -uA e. NN0)))

Syntax hints:   <-> wb 127   \/ wo 195   /\ wa 196   \/ w3o 580   = wceq 1091   e. wcel 1092  CCcc 4026  RRcr 4027  0cc0 4028  -ucneg 4090  NNcn 4093  NN0cn0 4094  ZZcz 4095

This theorem is referenced by:  zaddclt 4590  zmulclt 4596  zltp1let 4597

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-r 4038  df-plus 4039  df-sub 4133  df-neg 4135  df-n0 4535  df-z 4564

metamath.org