Theorem en2lp 3453

Description: No class has 2-cycle membership loops. Theorem 7X(b) of [Enderton] p. 206.

Assertion

Ref	Expression
en2lp	|- -. (A e. B /\ B e. A)

Proof of Theorem en2lp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1149	. . . . 5 |- (x = A -> (x e. y <-> A e. y))
2		eleq2 1150	. . . . 5 |- (x = A -> (y e. x <-> y e. A))
3	1, 2	anbi12d 476	. . . 4 |- (x = A -> ((x e. y /\ y e. x) <-> (A e. y /\ y e. A)))
4	3	negbid 463	. . 3 |- (x = A -> (-. (x e. y /\ y e. x) <-> -. (A e. y /\ y e. A)))
5		eleq2 1150	. . . . 5 |- (y = B -> (A e. y <-> A e. B))
6		eleq1 1149	. . . . 5 |- (y = B -> (y e. A <-> B e. A))
7	5, 6	anbi12d 476	. . . 4 |- (y = B -> ((A e. y /\ y e. A) <-> (A e. B /\ B e. A)))
8	7	negbid 463	. . 3 |- (y = B -> (-. (A e. y /\ y e. A) <-> -. (A e. B /\ B e. A)))
9		zfregfr 3452	. . . 4 |- E Fr V
10		visset 1350	. . . . 5 |- x e. V
11		visset 1350	. . . . 5 |- y e. V
12	10, 11	pm3.2i 234	. . . 4 |- (x e. V /\ y e. V)
13		efrn2lp 2181	. . . 4 |- ((E Fr V /\ (x e. V /\ y e. V)) -> -. (x e. y /\ y e. x))
14	9, 12, 13	mp2an 520	. . 3 |- -. (x e. y /\ y e. x)
15	4, 8, 14	vtocl2g 1386	. 2 |- ((A e. V /\ B e. V) -> -. (A e. B /\ B e. A))
16		elisset 1354	. . . 4 |- (A e. B -> A e. V)
17		elisset 1354	. . . 4 |- (B e. A -> B e. V)
18	16, 17	anim12i 268	. . 3 |- ((A e. B /\ B e. A) -> (A e. V /\ B e. V))
19	18	con3i 90	. 2 |- (-. (A e. V /\ B e. V) -> -. (A e. B /\ B e. A))
20	15, 19	pm2.61i 110	1 |- -. (A e. B /\ B e. A)

Syntax hints:  -. wn 1   /\ wa 196   e. wel 803   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  Ecep 2056   Fr wfr 2061

This theorem is referenced by:  preleq 3454  suc11reg 3456  axunndlem1 3741  axacndlem5 3757

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-reg 1078

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-fr 2169

metamath.org