Theorem endomtr 3325

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance.

Assertion

Ref	Expression
endomtr	|- ((A ~~ B /\ B ~<_ C) -> A ~<_ C)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domtr 3320	. 2 |- ((A ~<_ B /\ B ~<_ C) -> A ~<_ C)
2		endom 3289	. 2 |- (A ~~ B -> A ~<_ B)
3	1, 2	sylan 343	1 |- ((A ~~ B /\ B ~<_ C) -> A ~<_ C)

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   class class class wbr 2054   ~~ cen 3271   ~<_ cdom 3272

This theorem is referenced by:  undom 3342  xpdom1 3346  xpdom3 3347  ensdomtr 3372  domsdomtr 3374  domen1 3377  mapdom1 3387  mapdom2 3389  php 3409  onomeneq 3414  0sdom1dom 3420  isfinite1 3425  carddomi 3641  cdadom2 3728  xpnnen 4927  infxpidmlem1 4933  infdif 4948

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-en 3274  df-dom 3275

metamath.org