Theorem enen1 3375

Description: Equality-like theorem for equinumerosity.

Assertion

Ref	Expression
enen1	|- ((B e. D /\ A ~~ B) -> (A ~~ C <-> B ~~ C))

Proof of Theorem enen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensymg 3316	. . . 4 |- (B e. D -> (A ~~ B -> B ~~ A))
2	1	imp 277	. . 3 |- ((B e. D /\ A ~~ B) -> B ~~ A)
3		entrt 3319	. . . 4 |- ((B ~~ A /\ A ~~ C) -> B ~~ C)
4	3	exp 291	. . 3 |- (B ~~ A -> (A ~~ C -> B ~~ C))
5	2, 4	syl 12	. 2 |- ((B e. D /\ A ~~ B) -> (A ~~ C -> B ~~ C))
6		entrt 3319	. . . 4 |- ((A ~~ B /\ B ~~ C) -> A ~~ C)
7	6	adantll 309	. . 3 |- (((B e. D /\ A ~~ B) /\ B ~~ C) -> A ~~ C)
8	7	exp 291	. 2 |- ((B e. D /\ A ~~ B) -> (B ~~ C -> A ~~ C))
9	5, 8	impbid 397	1 |- ((B e. D /\ A ~~ B) -> (A ~~ C <-> B ~~ C))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   e. wcel 1092   class class class wbr 2054   ~~ cen 3271

This theorem is referenced by:  xpen 3383  pwen 3398  onomeneq 3414  cdaen 3719  infxpidmlem10 4942  alephexp2 4956

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-er 3200  df-en 3274

metamath.org