Theorem enrer 3970

Description: The equivalence relation for signed reals is an equivalence relation. Proposition 9-4.1 of [Gleason] p. 126.

Assertion

Ref	Expression
enrer	|- Er ~R

Proof of Theorem enrer

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-enr 3960	. 2 |- ~R = {<.x, y>. | ((x e. (P. X. P.) /\ y e. (P. X. P.)) /\ E.zE.wE.vE.u((x = <.z, w>. /\ y = <.v, u>.) /\ (z +P. u) = (w +P. v)))}
2		visset 1350	. . 3 |- x e. V
3		visset 1350	. . 3 |- y e. V
4	2, 3	addcompr 3917	. 2 |- (x +P. y) = (y +P. x)
5		addclpr 3914	. 2 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> (x +P. y) e. P.)
6		visset 1350	. . 3 |- z e. V
7	3, 6	addasspr 3918	. 2 |- ((x +P. y) +P. z) = (x +P. (y +P. z))
8	3, 6	addcanpr 3946	. 2 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> ((x +P. y) = (x +P. z) -> y = z))
9	1, 4, 5, 7, 8	ecopoprer 3248	1 |- Er ~R

Syntax hints:  Er wer 3197  P.cnp 3779   +P. cpp 3781   ~R cer 3786

This theorem is referenced by:  enreceq 3971  addsrpr 3978  mulsrpr 3979  ltsrpr 3980  0nsr 3982

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-plp 3882  df-ltp 3884  df-enr 3960

metamath.org