Theorem ensn1g 3330

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one.

Assertion

Ref	Expression
ensn1g	|- (A e. B -> {A} ~~ 1o)

Proof of Theorem ensn1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 1816	. . 3 |- (x = A -> {x} = {A})
2	1	breq1d 2071	. 2 |- (x = A -> ({x} ~~ 1o <-> {A} ~~ 1o))
3		visset 1350	. . 3 |- x e. V
4	3	ensn1 3329	. 2 |- {x} ~~ 1o
5	2, 4	vtoclg 1383	1 |- (A e. B -> {A} ~~ 1o)

Syntax hints:   -> wi 2   = wceq 1091   e. wcel 1092  {csn 1808   class class class wbr 2054  1oc1o 3099   ~~ cen 3271

This theorem is referenced by:  cardsn 3640

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-1o 3104  df-en 3274

metamath.org