Theorem enssdom 3287

Description: Equinumerosity implies dominance.

Assertion

Ref	Expression
enssdom	|- ~~ (_ ~<_

Proof of Theorem enssdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 3277	. 2 |- Rel ~~
2		f1of1 2799	. . . . 5 |- (f:x-1-1-onto->y -> f:x-1-1->y)
3	2	19.22i 723	. . . 4 |- (E.f f:x-1-1-onto->y -> E.f f:x-1-1->y)
4		opabid 2099	. . . 4 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1-onto->y} <-> E.f f:x-1-1-onto->y)
5		opabid 2099	. . . 4 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1->y} <-> E.f f:x-1-1->y)
6	3, 4, 5	3imtr4 192	. . 3 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1-onto->y} -> <.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1->y})
7		df-en 3274	. . . 4 |- ~~ = {<.x, y>. | E.f f:x-1-1-onto->y}
8	7	eleq2i 1153	. . 3 |- (<.x, y>. e. ~~ <-> <.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1-onto->y})
9		df-dom 3275	. . . 4 |- ~<_ = {<.x, y>. | E.f f:x-1-1->y}
10	9	eleq2i 1153	. . 3 |- (<.x, y>. e. ~<_ <-> <.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1->y})
11	6, 8, 10	3imtr4 192	. 2 |- (<.x, y>. e. ~~ -> <.x, y>. e. ~<_ )
12	1, 11	relssi 2481	1 |- ~~ (_ ~<_

Syntax hints:  E.wex 678   e. wcel 1092   (_ wss 1487  <.cop 1810  {copab 2055  -1-1->wf1 2419  -1-1-onto->wf1o 2421   ~~ cen 3271   ~<_ cdom 3272

This theorem is referenced by:  dfdom2 3288  endom 3289

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425  df-f1o 2437  df-en 3274  df-dom 3275

metamath.org