Theorem ensym 3317

Description: Symmetry of equinumerosity. Theorem 2 of [Suppes] p. 92.

Hypothesis

Ref	Expression
ensym.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
ensym	|- (A ~~ B -> B ~~ A)

Proof of Theorem ensym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym.1	. 2 |- B e. V
2		ensymg 3316	. 2 |- (B e. V -> (A ~~ B -> B ~~ A))
3	1, 2	ax-mp 6	1 |- (A ~~ B -> B ~~ A)

Syntax hints:   -> wi 2   e. wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054   ~~ cen 3271

This theorem is referenced by:  ensymi 3318  0sdom 3368  php 3409  php2 3410  php3 3411  ominf 3423  isfinite2 3437  infcntss 3443  fiint 3445  isfinite 3480  nnsdom 3481  karden 3551  numthcor 3601  iscard2 3660  ondomcard 3663  alephordi 3679  infxpidmlem1 4933  infxpidmlem12 4944  infdif 4948  infmap2lem1 4951  infmap2 4953  alephsuc3 4955

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-er 3200  df-en 3274

metamath.org