Theorem erdmrn 3213

Description: The range and domain of an equivalence relation are equal.

Hypothesis

Ref	Expression
erdmrn.1	|- Er R

Assertion

Ref	Expression
erdmrn	|- dom R = ran R

Proof of Theorem erdmrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1350	. . . . 5 |- x e. V
2		visset 1350	. . . . 5 |- y e. V
3		erdmrn.1	. . . . 5 |- Er R
4	1, 2, 3	ersymb 3210	. . . 4 |- (xRy <-> yRx)
5	4	biex 733	. . 3 |- (E.y xRy <-> E.y yRx)
6	1	eldm 2527	. . 3 |- (x e. dom R <-> E.y xRy)
7	1	elrn2 2563	. . 3 |- (x e. ran R <-> E.y yRx)
8	5, 6, 7	3bitr4 158	. 2 |- (x e. dom R <-> x e. ran R)
9	8	cleqri 1101	1 |- dom R = ran R

Syntax hints:  E.wex 678   = wceq 1091   e. wcel 1092   class class class wbr 2054  dom cdm 2410  ran crn 2411  Er wer 3197

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-er 3200

metamath.org