Theorem f1dmex 2819

Description: If the codomain of a one-to-one function exists, so does its domain. This theorem is equivalent to the Axiom of Replacement ax-rep 1075.

Assertion

Ref	Expression
f1dmex	|- (B e. C -> (F:A-1-1->B -> A e. V))

Proof of Theorem f1dmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 1702	. . 3 |- (B e. C -> (ran F (_ B -> ran F e. V))
2		f1f 2781	. . . 4 |- (F:A-1-1->B -> F:A-->B)
3		frn 2757	. . . 4 |- (F:A-->B -> ran F (_ B)
4	2, 3	syl 12	. . 3 |- (F:A-1-1->B -> ran F (_ B)
5	1, 4	syl5 22	. 2 |- (B e. C -> (F:A-1-1->B -> ran F e. V))
6		fornex 2793	. . 3 |- (ran F e. V -> (`'F:ran F-onto->A -> A e. V))
7		f1f1orn 2810	. . . 4 |- (F:A-1-1->B -> F:A-1-1-onto->ran F)
8		f1ocnv 2811	. . . 4 |- (F:A-1-1-onto->ran F -> `'F:ran F-1-1-onto->A)
9		f1ofo 2806	. . . 4 |- (`'F:ran F-1-1-onto->A -> `'F:ran F-onto->A)
10	7, 8, 9	3syl 21	. . 3 |- (F:A-1-1->B -> `'F:ran F-onto->A)
11	6, 10	syl5 22	. 2 |- (ran F e. V -> (F:A-1-1->B -> A e. V))
12	5, 11	syli 52	1 |- (B e. C -> (F:A-1-1->B -> A e. V))

Syntax hints:   -> wi 2   e. wcel 1092  Vcvv 1348   (_ wss 1487  `'ccnv 2409  ran crn 2411  -->wf 2418  -1-1->wf1 2419  -onto->wfo 2420  -1-1-onto->wf1o 2421

This theorem is referenced by:  abianfp 3000  f1dom2g 3300

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437

metamath.org