Theorem f1domg 3299

Description: The domain of a one-to-one function is dominated by its range.

Assertion

Ref	Expression
f1domg	|- (A e. C -> (F:A-1-1->B -> A ~<_ B))

Proof of Theorem f1domg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnex 2740	. . . 4 |- (A e. C -> (F Fn A -> F e. V))
2		f1f 2781	. . . . 5 |- (F:A-1-1->B -> F:A-->B)
3		ffn 2752	. . . . 5 |- (F:A-->B -> F Fn A)
4	2, 3	syl 12	. . . 4 |- (F:A-1-1->B -> F Fn A)
5	1, 4	syl5 22	. . 3 |- (A e. C -> (F:A-1-1->B -> F e. V))
6		f1eq1 2776	. . . 4 |- (f = F -> (f:A-1-1->B <-> F:A-1-1->B))
7	6	cla4egv 1397	. . 3 |- (F e. V -> (F:A-1-1->B -> E.f f:A-1-1->B))
8	5, 7	syli 52	. 2 |- (A e. C -> (F:A-1-1->B -> E.f f:A-1-1->B))
9		brprc 2097	. . . . . 6 |- (-. B e. V -> (A ~<_ B <-> A ~<_ A))
10		domrefg 3297	. . . . . 6 |- (A e. C -> A ~<_ A)
11	9, 10	syl5bir 184	. . . . 5 |- (-. B e. V -> (A e. C -> A ~<_ B))
12	11	a1d 14	. . . 4 |- (-. B e. V -> (E.f f:A-1-1->B -> (A e. C -> A ~<_ B)))
13	12	com3r 35	. . 3 |- (A e. C -> (-. B e. V -> (E.f f:A-1-1->B -> A ~<_ B)))
14		brdomg 3281	. . . 4 |- (B e. V -> (A ~<_ B <-> E.f f:A-1-1->B))
15	14	biimprd 136	. . 3 |- (B e. V -> (E.f f:A-1-1->B -> A ~<_ B))
16	13, 15	pm2.61d2 111	. 2 |- (A e. C -> (E.f f:A-1-1->B -> A ~<_ B))
17	8, 16	syld 27	1 |- (A e. C -> (F:A-1-1->B -> A ~<_ B))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2  E.wex 678   e. wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054   Fn wfn 2417  -->wf 2418  -1-1->wf1 2419   ~<_ cdom 3272

This theorem is referenced by:  f1dom2g 3300  f1dom 3302  dom2d 3307  ssdomg 3311

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-en 3274  df-dom 3275

metamath.org