Theorem f1oeq1 2795

Description: Equality theorem for one-to-one onto functions.

Assertion

Ref	Expression
f1oeq1	|- (F = G -> (F:A-1-1-onto->B <-> G:A-1-1-onto->B))

Proof of Theorem f1oeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1eq1 2776	. . 3 |- (F = G -> (F:A-1-1->B <-> G:A-1-1->B))
2		foeq1 2784	. . 3 |- (F = G -> (F:A-onto->B <-> G:A-onto->B))
3	1, 2	anbi12d 476	. 2 |- (F = G -> ((F:A-1-1->B /\ F:A-onto->B) <-> (G:A-1-1->B /\ G:A-onto->B)))
4		df-f1o 2437	. 2 |- (F:A-1-1-onto->B <-> (F:A-1-1->B /\ F:A-onto->B))
5		df-f1o 2437	. 2 |- (G:A-1-1-onto->B <-> (G:A-1-1->B /\ G:A-onto->B))
6	3, 4, 5	3bitr4g 428	1 |- (F = G -> (F:A-1-1-onto->B <-> G:A-1-1-onto->B))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   = wceq 1091  -1-1->wf1 2419  -onto->wfo 2420  -1-1-onto->wf1o 2421

This theorem is referenced by:  f1ocnvb 2812  f1ovi 2826  fsn 2895  isoeq1 2925  mapsn 3269  enrefg 3294  f1oeng 3298  ensn1 3329  unen 3338  php3 3411  ssfi 3430  unfilem3 3440  numthlem 3598  infxpidmlem2 4934

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437

metamath.org