Theorem f1owe 2943

Description: Well-ordering of isomorphic relations.

Hypothesis

Ref	Expression
f1owe.1	|- R = {<.x, y>. | (F` x)S(F` y)}

Assertion

Ref	Expression
f1owe	|- (F:A-1-1-onto->B -> (S We B -> R We A))

Distinct variable group(s):   x,y,S   x,F,y

Proof of Theorem f1owe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 2832	. . . . . 6 |- (x = z -> (F` x) = (F` z))
2	1	breq1d 2071	. . . . 5 |- (x = z -> ((F` x)S(F` y) <-> (F` z)S(F` y)))
3		fveq2 2832	. . . . . 6 |- (y = w -> (F` y) = (F` w))
4	3	breq2d 2072	. . . . 5 |- (y = w -> ((F` z)S(F` y) <-> (F` z)S(F` w)))
5		f1owe.1	. . . . 5 |- R = {<.x, y>. | (F` x)S(F` y)}
6	2, 4, 5	brabg 2116	. . . 4 |- ((z e. A /\ w e. A) -> (zRw <-> (F` z)S(F` w)))
7	6	rgen2 1248	. . 3 |- A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (F` z)S(F` w))
8		df-iso 2439	. . . 4 |- (F Isom R, S (A, B) <-> (F:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (F` z)S(F` w))))
9		isowe 2941	. . . 4 |- (F Isom R, S (A, B) -> (R We A <-> S We B))
10	8, 9	sylbir 176	. . 3 |- ((F:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (F` z)S(F` w))) -> (R We A <-> S We B))
11	7, 10	mpan2 519	. 2 |- (F:A-1-1-onto->B -> (R We A <-> S We B))
12	11	biimprd 136	1 |- (F:A-1-1-onto->B -> (S We B -> R We A))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   = weq 797   = wceq 1091  A.wral 1201   class class class wbr 2054  {copab 2055   We wwe 2062  -1-1-onto->wf1o 2421  ` cfv 2422   Isom wiso 2423

This theorem is referenced by:  weth 3602

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-iso 2439

metamath.org