Theorem facnnt 4870

Description: Value of the factorial function for positive integers.

Assertion

Ref	Expression
facnnt	|- (A e. NN -> (!` A) = (( x. seq(I |` NN))` A))

Proof of Theorem facnnt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fac 4869	. . . . . 6 |- ! = (( x. seq(I |` NN)) u. {<.0, 1>.})
2		reseq1 2575	. . . . . 6 |- (! = (( x. seq(I |` NN)) u. {<.0, 1>.}) -> (! |` NN) = ((( x. seq(I |` NN)) u. {<.0, 1>.}) |` NN))
3	1, 2	ax-mp 6	. . . . 5 |- (! |` NN) = ((( x. seq(I |` NN)) u. {<.0, 1>.}) |` NN)
4		resundir 2583	. . . . . 6 |- ((( x. seq(I |` NN)) u. {<.0, 1>.}) |` NN) = ((( x. seq(I |` NN)) |` NN) u. ({<.0, 1>.} |` NN))
5		incom 1636	. . . . . . . . 9 |- ({0} i^i NN) = (NN i^i {0})
6		0nnn 4443	. . . . . . . . . 10 |- -. 0 e. NN
7		disjsn 1836	. . . . . . . . . 10 |- ((NN i^i {0}) = (/) <-> -. 0 e. NN)
8	6, 7	mpbir 165	. . . . . . . . 9 |- (NN i^i {0}) = (/)
9	5, 8	eqtr 1119	. . . . . . . 8 |- ({0} i^i NN) = (/)
10		0nn0 4546	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. NN0
11	10	elisseti 1355	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. V
12		1nn 4432	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. NN
13	12	elisseti 1355	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. V
14	11, 13	f1osn 2827	. . . . . . . . . 10 |- {<.0, 1>.}:{0}-1-1-onto->{1}
15		f1ofn 2801	. . . . . . . . . 10 |- ({<.0, 1>.}:{0}-1-1-onto->{1} -> {<.0, 1>.} Fn {0})
16	14, 15	ax-mp 6	. . . . . . . . 9 |- {<.0, 1>.} Fn {0}
17		fnresdisj 2732	. . . . . . . . 9 |- ({<.0, 1>.} Fn {0} -> (({0} i^i NN) = (/) <-> ({<.0, 1>.} |` NN) = (/)))
18	16, 17	ax-mp 6	. . . . . . . 8 |- (({0} i^i NN) = (/) <-> ({<.0, 1>.} |` NN) = (/))
19	9, 18	mpbi 164	. . . . . . 7 |- ({<.0, 1>.} |` NN) = (/)
20	19	uneq2i 1608	. . . . . 6 |- ((( x. seq(I |` NN)) |` NN) u. ({<.0, 1>.} |` NN)) = ((( x. seq(I |` NN)) |` NN) u. (/))
21	4, 20	eqtr 1119	. . . . 5 |- ((( x. seq(I |` NN)) u. {<.0, 1>.}) |` NN) = ((( x. seq(I |` NN)) |` NN) u. (/))
22		un0 1721	. . . . 5 |- ((( x. seq(I |` NN)) |` NN) u. (/)) = (( x. seq(I |` NN)) |` NN)
23	3, 21, 22	3eqtr 1123	. . . 4 |- (! |` NN) = (( x. seq(I |` NN)) |` NN)
24	23	fveq1i 2833	. . 3 |- ((! |` NN)` A) = ((( x. seq(I |` NN)) |` NN)` A)
25	24	a1i 7	. 2 |- (A e. NN -> ((! |` NN)` A) = ((( x. seq(I |` NN)) |` NN)` A))
26		fvres 2840	. 2 |- (A e. NN -> ((! |` NN)` A) = (!` A))
27		fvres 2840	. 2 |- (A e. NN -> ((( x. seq(I |` NN)) |` NN)` A) = (( x. seq(I |` NN))` A))
28	25, 26, 27	3eqtr3d 1133	1 |- (A e. NN -> (!` A) = (( x. seq(I |` NN))` A))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   = wceq 1091   e. wcel 1092   u. cun 1485   i^i cin 1486  (/)c0 1707  {csn 1808  <.cop 1810  Icid 2057   |` cres 2412   Fn wfn 2417  -1-1-onto->wf1o 2421  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  0cc0 4028  1c1 4029   x. cmulc 4032  NNcn 4093  NN0cn0 4094  seqcseq 4660  !cfa 4868

This theorem is referenced by:  fac1 4872  facp1t 4873

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423  df-n0 4535  df-fac 4869

metamath.org