Theorem fcnvres 2768

Description: The converse of a restriction of a function.

Assertion

Ref	Expression
fcnvres	|- (F:A-->B -> `'(F |` A) = (`'F |` B))

Proof of Theorem fcnvres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1350	. . . . . . . . 9 |- y e. V
2	1	opelf 2762	. . . . . . . 8 |- ((F:A-->B /\ <.x, y>. e. F) -> (x e. A /\ y e. B))
3	2	pm3.26d 258	. . . . . . 7 |- ((F:A-->B /\ <.x, y>. e. F) -> x e. A)
4	3	exp 291	. . . . . 6 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. F -> x e. A))
5		pm4.71 481	. . . . . 6 |- ((<.x, y>. e. F -> x e. A) <-> (<.x, y>. e. F <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. A)))
6	4, 5	sylib 173	. . . . 5 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. F <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. A)))
7		visset 1350	. . . . . . 7 |- x e. V
8	1, 7	opelcnv 2518	. . . . . 6 |- (<.y, x>. e. `'(F |` A) <-> <.x, y>. e. (F |` A))
9	1	opelres 2579	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (F |` A) <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. A))
10	8, 9	bitr 151	. . . . 5 |- (<.y, x>. e. `'(F |` A) <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. A))
11	6, 10	syl6bbr 416	. . . 4 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. F <-> <.y, x>. e. `'(F |` A)))
12	2	pm3.27d 262	. . . . . . 7 |- ((F:A-->B /\ <.x, y>. e. F) -> y e. B)
13	12	exp 291	. . . . . 6 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. F -> y e. B))
14		pm4.71 481	. . . . . 6 |- ((<.x, y>. e. F -> y e. B) <-> (<.x, y>. e. F <-> (<.x, y>. e. F /\ y e. B)))
15	13, 14	sylib 173	. . . . 5 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. F <-> (<.x, y>. e. F /\ y e. B)))
16	7	opelres 2579	. . . . . 6 |- (<.y, x>. e. (`'F |` B) <-> (<.y, x>. e. `'F /\ y e. B))
17	1, 7	opelcnv 2518	. . . . . . 7 |- (<.y, x>. e. `'F <-> <.x, y>. e. F)
18	17	anbi1i 368	. . . . . 6 |- ((<.y, x>. e. `'F /\ y e. B) <-> (<.x, y>. e. F /\ y e. B))
19	16, 18	bitr 151	. . . . 5 |- (<.y, x>. e. (`'F |` B) <-> (<.x, y>. e. F /\ y e. B))
20	15, 19	syl6bbr 416	. . . 4 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. F <-> <.y, x>. e. (`'F |` B)))
21	11, 20	bitr3d 408	. . 3 |- (F:A-->B -> (<.y, x>. e. `'(F |` A) <-> <.y, x>. e. (`'F |` B)))
22	21	19.21aivv 944	. 2 |- (F:A-->B -> A.yA.x(<.y, x>. e. `'(F |` A) <-> <.y, x>. e. (`'F |` B)))
23		relcnv 2624	. . 3 |- Rel `'(F |` A)
24		relres 2591	. . 3 |- Rel (`'F |` B)
25		cleqrel 2483	. . 3 |- ((Rel `'(F |` A) /\ Rel (`'F |` B)) -> (`'(F |` A) = (`'F |` B) <-> A.yA.x(<.y, x>. e. `'(F |` A) <-> <.y, x>. e. (`'F |` B))))
26	23, 24, 25	mp2an 520	. 2 |- (`'(F |` A) = (`'F |` B) <-> A.yA.x(<.y, x>. e. `'(F |` A) <-> <.y, x>. e. (`'F |` B)))
27	22, 26	sylibr 175	1 |- (F:A-->B -> `'(F |` A) = (`'F |` B))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672   = wceq 1091   e. wcel 1092  <.cop 1810  `'ccnv 2409   |` cres 2412  Rel wrel 2415  -->wf 2418

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434

metamath.org