Theorem fcoi1 2765

Description: Composition of a mapping and restricted identity.

Assertion

Ref	Expression
fcoi1	|- (F:A-->B -> (F o. (I |` A)) = F)

Proof of Theorem fcoi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 2752	. 2 |- (F:A-->B -> F Fn A)
2		visset 1350	. . . . . . . 8 |- x e. V
3		visset 1350	. . . . . . . 8 |- y e. V
4	2, 3	fnop 2727	. . . . . . 7 |- ((F Fn A /\ <.x, y>. e. F) -> x e. A)
5	4	exp 291	. . . . . 6 |- (F Fn A -> (<.x, y>. e. F -> x e. A))
6		pm4.71r 482	. . . . . 6 |- ((<.x, y>. e. F -> x e. A) <-> (<.x, y>. e. F <-> (x e. A /\ <.x, y>. e. F)))
7	5, 6	sylib 173	. . . . 5 |- (F Fn A -> (<.x, y>. e. F <-> (x e. A /\ <.x, y>. e. F)))
8		opelcog 2511	. . . . . . 7 |- ((x e. V /\ y e. V) -> (<.x, y>. e. (F o. (I |` A)) <-> E.z(<.x, z>. e. (I |` A) /\ <.z, y>. e. F)))
9	2, 3, 8	mp2an 520	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (F o. (I |` A)) <-> E.z(<.x, z>. e. (I |` A) /\ <.z, y>. e. F))
10		visset 1350	. . . . . . . . . . 11 |- z e. V
11	10	opelres 2579	. . . . . . . . . 10 |- (<.x, z>. e. (I |` A) <-> (<.x, z>. e. I /\ x e. A))
12	2, 10	ideq 2127	. . . . . . . . . . . 12 |- (xIz <-> x = z)
13		df-br 2063	. . . . . . . . . . . 12 |- (xIz <-> <.x, z>. e. I)
14		cleqcom 1103	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = z <-> z = x)
15	12, 13, 14	3bitr3 156	. . . . . . . . . . 11 |- (<.x, z>. e. I <-> z = x)
16	15	anbi1i 368	. . . . . . . . . 10 |- ((<.x, z>. e. I /\ x e. A) <-> (z = x /\ x e. A))
17	11, 16	bitr 151	. . . . . . . . 9 |- (<.x, z>. e. (I |` A) <-> (z = x /\ x e. A))
18	17	anbi1i 368	. . . . . . . 8 |- ((<.x, z>. e. (I |` A) /\ <.z, y>. e. F) <-> ((z = x /\ x e. A) /\ <.z, y>. e. F))
19		anass 336	. . . . . . . 8 |- (((z = x /\ x e. A) /\ <.z, y>. e. F) <-> (z = x /\ (x e. A /\ <.z, y>. e. F)))
20	18, 19	bitr 151	. . . . . . 7 |- ((<.x, z>. e. (I |` A) /\ <.z, y>. e. F) <-> (z = x /\ (x e. A /\ <.z, y>. e. F)))
21	20	biex 733	. . . . . 6 |- (E.z(<.x, z>. e. (I |` A) /\ <.z, y>. e. F) <-> E.z(z = x /\ (x e. A /\ <.z, y>. e. F)))
22		opeq1 1876	. . . . . . . . 9 |- (z = x -> <.z, y>. = <.x, y>.)
23	22	eleq1d 1155	. . . . . . . 8 |- (z = x -> (<.z, y>. e. F <-> <.x, y>. e. F))
24	23	anbi2d 468	. . . . . . 7 |- (z = x -> ((x e. A /\ <.z, y>. e. F) <-> (x e. A /\ <.x, y>. e. F)))
25	2, 24	ceqsexv 1371	. . . . . 6 |- (E.z(z = x /\ (x e. A /\ <.z, y>. e. F)) <-> (x e. A /\ <.x, y>. e. F))
26	9, 21, 25	3bitr 155	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (F o. (I |` A)) <-> (x e. A /\ <.x, y>. e. F))
27	7, 26	syl6rbbr 417	. . . 4 |- (F Fn A -> (<.x, y>. e. (F o. (I |` A)) <-> <.x, y>. e. F))
28	27	19.21aivv 944	. . 3 |- (F Fn A -> A.xA.y(<.x, y>. e. (F o. (I |` A)) <-> <.x, y>. e. F))
29		fnrel 2722	. . . 4 |- (F Fn A -> Rel F)
30		relco 2658	. . . . 5 |- Rel (F o. (I |` A))
31		cleqrel 2483	. . . . 5 |- ((Rel (F o. (I |` A)) /\ Rel F) -> ((F o. (I |` A)) = F <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (F o. (I |` A)) <-> <.x, y>. e. F)))
32	30, 31	mpan 518	. . . 4 |- (Rel F -> ((F o. (I |` A)) = F <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (F o. (I |` A)) <-> <.x, y>. e. F)))
33	29, 32	syl 12	. . 3 |- (F Fn A -> ((F o. (I |` A)) = F <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (F o. (I |` A)) <-> <.x, y>. e. F)))
34	28, 33	mpbird 171	. 2 |- (F Fn A -> (F o. (I |` A)) = F)
35	1, 34	syl 12	1 |- (F:A-->B -> (F o. (I |` A)) = F)

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   = weq 797   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  <.cop 1810   class class class wbr 2054  Icid 2057   |` cres 2412   o. ccom 2414  Rel wrel 2415   Fn wfn 2417  -->wf 2418

This theorem is referenced by:  mapenlem1 3384  mapenlem2 3385

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-co 2427  df-dm 2428  df-res 2430  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434

metamath.org