Theorem fcoi2 2766

Description: Composition of restricted identity and a mapping.

Assertion

Ref	Expression
fcoi2	|- (F:A-->B -> ((I |` B) o. F) = F)

Proof of Theorem fcoi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1350	. . . . . . . 8 |- y e. V
2	1	opelf 2762	. . . . . . 7 |- ((F:A-->B /\ <.x, y>. e. F) -> (x e. A /\ y e. B))
3	2	pm3.27d 262	. . . . . 6 |- ((F:A-->B /\ <.x, y>. e. F) -> y e. B)
4	3	exp 291	. . . . 5 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. F -> y e. B))
5		pm4.71 481	. . . . 5 |- ((<.x, y>. e. F -> y e. B) <-> (<.x, y>. e. F <-> (<.x, y>. e. F /\ y e. B)))
6	4, 5	sylib 173	. . . 4 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. F <-> (<.x, y>. e. F /\ y e. B)))
7		visset 1350	. . . . . 6 |- x e. V
8		opelcog 2511	. . . . . 6 |- ((x e. V /\ y e. V) -> (<.x, y>. e. ((I |` B) o. F) <-> E.z(<.x, z>. e. F /\ <.z, y>. e. (I |` B))))
9	7, 1, 8	mp2an 520	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. ((I |` B) o. F) <-> E.z(<.x, z>. e. F /\ <.z, y>. e. (I |` B)))
10	1	opelres 2579	. . . . . . . . 9 |- (<.z, y>. e. (I |` B) <-> (<.z, y>. e. I /\ z e. B))
11		df-br 2063	. . . . . . . . . . 11 |- (zIy <-> <.z, y>. e. I)
12		visset 1350	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. V
13	12, 1	ideq 2127	. . . . . . . . . . 11 |- (zIy <-> z = y)
14	11, 13	bitr3 153	. . . . . . . . . 10 |- (<.z, y>. e. I <-> z = y)
15	14	anbi1i 368	. . . . . . . . 9 |- ((<.z, y>. e. I /\ z e. B) <-> (z = y /\ z e. B))
16	10, 15	bitr 151	. . . . . . . 8 |- (<.z, y>. e. (I |` B) <-> (z = y /\ z e. B))
17	16	anbi2i 367	. . . . . . 7 |- ((<.x, z>. e. F /\ <.z, y>. e. (I |` B)) <-> (<.x, z>. e. F /\ (z = y /\ z e. B)))
18		an12 370	. . . . . . 7 |- ((<.x, z>. e. F /\ (z = y /\ z e. B)) <-> (z = y /\ (<.x, z>. e. F /\ z e. B)))
19	17, 18	bitr 151	. . . . . 6 |- ((<.x, z>. e. F /\ <.z, y>. e. (I |` B)) <-> (z = y /\ (<.x, z>. e. F /\ z e. B)))
20	19	biex 733	. . . . 5 |- (E.z(<.x, z>. e. F /\ <.z, y>. e. (I |` B)) <-> E.z(z = y /\ (<.x, z>. e. F /\ z e. B)))
21		opeq2 1877	. . . . . . . 8 |- (z = y -> <.x, z>. = <.x, y>.)
22	21	eleq1d 1155	. . . . . . 7 |- (z = y -> (<.x, z>. e. F <-> <.x, y>. e. F))
23		eleq1 1149	. . . . . . 7 |- (z = y -> (z e. B <-> y e. B))
24	22, 23	anbi12d 476	. . . . . 6 |- (z = y -> ((<.x, z>. e. F /\ z e. B) <-> (<.x, y>. e. F /\ y e. B)))
25	1, 24	ceqsexv 1371	. . . . 5 |- (E.z(z = y /\ (<.x, z>. e. F /\ z e. B)) <-> (<.x, y>. e. F /\ y e. B))
26	9, 20, 25	3bitr 155	. . . 4 |- (<.x, y>. e. ((I |` B) o. F) <-> (<.x, y>. e. F /\ y e. B))
27	6, 26	syl6rbbr 417	. . 3 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. ((I |` B) o. F) <-> <.x, y>. e. F))
28	27	19.21aivv 944	. 2 |- (F:A-->B -> A.xA.y(<.x, y>. e. ((I |` B) o. F) <-> <.x, y>. e. F))
29		frel 2755	. . 3 |- (F:A-->B -> Rel F)
30		relco 2658	. . . 4 |- Rel ((I |` B) o. F)
31		cleqrel 2483	. . . 4 |- ((Rel ((I |` B) o. F) /\ Rel F) -> (((I |` B) o. F) = F <-> A.xA.y(<.x, y>. e. ((I |` B) o. F) <-> <.x, y>. e. F)))
32	30, 31	mpan 518	. . 3 |- (Rel F -> (((I |` B) o. F) = F <-> A.xA.y(<.x, y>. e. ((I |` B) o. F) <-> <.x, y>. e. F)))
33	29, 32	syl 12	. 2 |- (F:A-->B -> (((I |` B) o. F) = F <-> A.xA.y(<.x, y>. e. ((I |` B) o. F) <-> <.x, y>. e. F)))
34	28, 33	mpbird 171	1 |- (F:A-->B -> ((I |` B) o. F) = F)

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   = weq 797   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  <.cop 1810   class class class wbr 2054  Icid 2057   |` cres 2412   o. ccom 2414  Rel wrel 2415  -->wf 2418

This theorem is referenced by:  mapenlem2 3385

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434

metamath.org