Theorem ffnoprval 3041

Description: An operation maps to a class to which all values belong.

Assertion

Ref	Expression
ffnoprval	|- (F:(A X. B)-->C <-> (F Fn (A X. B) /\ A.x e. A A.y e. B (xFy) e. C))

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,B,y   x,C,y   x,F,y

Proof of Theorem ffnoprval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffnfv 2892	. 2 |- (F:(A X. B)-->C <-> (F Fn (A X. B) /\ A.w e. (A X. B)(F` w) e. C))
2		fveq2 2832	. . . . . 6 |- (w = <.x, y>. -> (F` w) = (F` <.x, y>.))
3		df-opr 3003	. . . . . 6 |- (xFy) = (F` <.x, y>.)
4	2, 3	syl6eqr 1142	. . . . 5 |- (w = <.x, y>. -> (F` w) = (xFy))
5	4	eleq1d 1155	. . . 4 |- (w = <.x, y>. -> ((F` w) e. C <-> (xFy) e. C))
6	5	ralxp 2456	. . 3 |- (A.w e. (A X. B)(F` w) e. C <-> A.x e. A A.y e. B (xFy) e. C)
7	6	anbi2i 367	. 2 |- ((F Fn (A X. B) /\ A.w e. (A X. B)(F` w) e. C) <-> (F Fn (A X. B) /\ A.x e. A A.y e. B (xFy) e. C))
8	1, 7	bitr 151	1 |- (F:(A X. B)-->C <-> (F Fn (A X. B) /\ A.x e. A A.y e. B (xFy) e. C))

Syntax hints:   <-> wb 127   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  <.cop 1810   X. cxp 2408   Fn wfn 2417  -->wf 2418  ` cfv 2422  (class class class)co 3001

This theorem is referenced by:  foprval 3043  mapxpen 3390  seqrn 4673

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-fv 2438  df-opr 3003

metamath.org