Theorem ffvrn 2890

Description: A function's value belongs to its codomain.

Assertion

Ref	Expression
ffvrn	|- ((F:A-->B /\ C e. A) -> (F` C) e. B)

Proof of Theorem ffvrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfvrn 2889	. . 3 |- ((F Fn A /\ C e. A) -> (F` C) e. ran F)
2		ffn 2752	. . 3 |- (F:A-->B -> F Fn A)
3	1, 2	sylan 343	. 2 |- ((F:A-->B /\ C e. A) -> (F` C) e. ran F)
4		frn 2757	. . . 4 |- (F:A-->B -> ran F (_ B)
5	4	sseld 1506	. . 3 |- (F:A-->B -> ((F` C) e. ran F -> (F` C) e. B))
6	5	adantr 306	. 2 |- ((F:A-->B /\ C e. A) -> ((F` C) e. ran F -> (F` C) e. B))
7	3, 6	mpd 46	1 |- ((F:A-->B /\ C e. A) -> (F` C) e. B)

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   e. wcel 1092  ran crn 2411   Fn wfn 2417  -->wf 2418  ` cfv 2422

This theorem is referenced by:  fopab2 2891  ffnfv 2892  fsn2 2896  fvconst 2899  isocnv 2934  isotr 2935  isotrALT 2936  omsmolem 3195  omsmo 3196  2dom 3332  xpdom2 3345  pw2en 3348  mapenlem2 3385  mapxpen 3390  xpmapenlem3 3393  xpmapenlem4 3394  xpmapenlem5 3395  fiint 3445  uzrdgsuc 4659  seqrn 4673  seqrn2 4674  climunii 4883  ruclem13 4897  ruclem15 4899  ruclem22 4906  ruclem23 4907  ruclem24 4908  ruclem25 4909  ruclem26 4910  ruclem27 4911  ruclem28 4912  ruclem29 4913  hlimcaui 5141  hlimunii 5143  occllem4 5183  occllem6 5185  occl 5188  projlem21 5213  projlem24 5216  projlem25 5217  projlem26 5218  hosclt 5491  hodclt 5492  osumlem4 5533  osumlem5 5534  hocl 5594  stclt 5672

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-fv 2438

metamath.org