Theorem fn0 2739

Description: A function with empty domain is empty.

Assertion

Ref	Expression
fn0	|- (F Fn (/) <-> F = (/))

Proof of Theorem fn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fndm 2723	. . . . 5 |- (F Fn (/) -> dom F = (/))
2		noel 1711	. . . . . . . . . 10 |- -. x e. (/)
3		eleq2 1150	. . . . . . . . . 10 |- (dom F = (/) -> (x e. dom F <-> x e. (/)))
4	2, 3	mtbiri 539	. . . . . . . . 9 |- (dom F = (/) -> -. x e. dom F)
5		visset 1350	. . . . . . . . . . 11 |- x e. V
6	5	eldm2 2528	. . . . . . . . . 10 |- (x e. dom F <-> E.y<.x, y>. e. F)
7	6	negbii 162	. . . . . . . . 9 |- (-. x e. dom F <-> -. E.y<.x, y>. e. F)
8	4, 7	sylib 173	. . . . . . . 8 |- (dom F = (/) -> -. E.y<.x, y>. e. F)
9		alnex 716	. . . . . . . 8 |- (A.y -. <.x, y>. e. F <-> -. E.y<.x, y>. e. F)
10	8, 9	sylibr 175	. . . . . . 7 |- (dom F = (/) -> A.y -. <.x, y>. e. F)
11	10	19.21bi 742	. . . . . 6 |- (dom F = (/) -> -. <.x, y>. e. F)
12		noel 1711	. . . . . 6 |- -. <.x, y>. e. (/)
13	11, 12	jctir 241	. . . . 5 |- (dom F = (/) -> (-. <.x, y>. e. F /\ -. <.x, y>. e. (/)))
14		pm5.21 502	. . . . 5 |- ((-. <.x, y>. e. F /\ -. <.x, y>. e. (/)) -> (<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. (/)))
15	1, 13, 14	3syl 21	. . . 4 |- (F Fn (/) -> (<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. (/)))
16	15	19.21aivv 944	. . 3 |- (F Fn (/) -> A.xA.y(<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. (/)))
17		fnrel 2722	. . . . 5 |- (F Fn (/) -> Rel F)
18		rel0 2499	. . . . 5 |- Rel (/)
19	17, 18	jctir 241	. . . 4 |- (F Fn (/) -> (Rel F /\ Rel (/)))
20		cleqrel 2483	. . . 4 |- ((Rel F /\ Rel (/)) -> (F = (/) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. (/))))
21	19, 20	syl 12	. . 3 |- (F Fn (/) -> (F = (/) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. (/))))
22	16, 21	mpbird 171	. 2 |- (F Fn (/) -> F = (/))
23		fun0 2691	. . . . 5 |- Fun (/)
24		dm0 2542	. . . . 5 |- dom (/) = (/)
25	23, 24	pm3.2i 234	. . . 4 |- (Fun (/) /\ dom (/) = (/))
26		df-fn 2433	. . . 4 |- ((/) Fn (/) <-> (Fun (/) /\ dom (/) = (/)))
27	25, 26	mpbir 165	. . 3 |- (/) Fn (/)
28		fneq1 2718	. . 3 |- (F = (/) -> (F Fn (/) <-> (/) Fn (/)))
29	27, 28	mpbiri 169	. 2 |- (F = (/) -> F Fn (/))
30	22, 29	impbi 139	1 |- (F Fn (/) <-> F = (/))

Syntax hints:  -. wn 1   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   = wceq 1091   e. wcel 1092  (/)c0 1707  <.cop 1810  dom cdm 2410  Rel wrel 2415  Fun wfun 2416   Fn wfn 2417

This theorem is referenced by:  f0 2772  f00 2773  f1o00 2823  fconstfv 2903  map0e 3266

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-fun 2432  df-fn 2433

metamath.org